這個計算器能做什麼
本工具用來計算一個 n×n 實數方陣 A 的反矩陣。反矩陣 A⁻¹ 是滿足「A 乘以 A⁻¹ 等於單位矩陣 I」的唯一矩陣。並非所有矩陣都有反矩陣：只有行列式不為零的方陣（即非奇異矩陣）才可逆。如果你輸入的矩陣為奇異矩陣，計算器會直接提示你，而不會回傳沒有意義的數值。
使用方式
先從下拉選單選擇矩陣尺寸 \(n\)，輸入格會自動調整為 \(n\) 列 \(n\) 行。接著在矩陣 A 的每個格子中填入一個實數。選擇你希望結果顯示的有效位數後，即可讀取反矩陣、行列式值，以及所採用的演算法。有效位數設定只會影響顯示時的四捨五入，不會改變內部運算——計算過程一律以完整的雙精度（double precision）進行。
演算法說明
本計算器採用「具部分樞軸選取的 LU 分解法」。首先將矩陣分解為 \(PA = LU\)，其中 \(P\) 為置換矩陣，會透過交換列的方式，讓對角線上保有目前可用的最大樞軸值（這能提升數值穩定度，避免除以極小的數值）；\(L\) 為單位下三角矩陣，\(U\) 為上三角矩陣。接著針對單位矩陣的每一行 \(e_k\)，先以前向代入法解出 \(L y = P e_k\)，再以後向代入法解出 \(U x = y\)；所得的 \(x\) 即為 \(A^{-1}\) 的第 \(k\) 行。行列式值則等於 \(U\) 對角線元素的乘積，再乘上列置換的正負號。
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A), \qquad PA = LU \;\Rightarrow\; A^{-1} = U^{-1} L^{-1} P$$$$\det(A) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$
實例演練
以 \(A = [[4, 3], [6, 3]]\) 為例。其行列式為 \(4 \cdot 3 - 3 \cdot 6 = 12 - 18 = -6\)，不為零，因此 A 可逆。利用 2×2 矩陣的封閉公式，\(A^{-1} = (1/\det) \cdot [[3, -3], [-6, 4]] = [[-0.5, 0.5], [1, -0.6666666667]]\)。將 A 與此反矩陣相乘後會得回單位矩陣，正好驗證答案無誤。
常見問題
如果我的矩陣是奇異矩陣會怎樣？若行列式為零（在極小的容許誤差範圍內），代表該矩陣沒有反矩陣，計算器會顯示「奇異矩陣／不可逆」的訊息。
為什麼用 LU 分解，而不用伴隨矩陣公式？對於較大的矩陣而言，具部分樞軸選取的 LU 分解在數值穩定度與運算效率上都遠勝於餘因子展開法，因為後者的計算成本會隨階數呈階乘式暴增。
有效位數的設定會影響運算結果嗎？不會。運算一律以完整精度進行；該設定只控制最終顯示幾位有效數字。
