Công cụ này làm gì
Công cụ giúp bạn tính ma trận nghịch đảo của một ma trận thực vuông cấp n×n, ký hiệu là \(A\). Ma trận nghịch đảo \(A^{-1}\) là ma trận duy nhất thỏa mãn \(A\) nhân \(A^{-1}\) bằng ma trận đơn vị \(I\). Không phải ma trận nào cũng có nghịch đảo: chỉ những ma trận vuông có định thức khác 0 (ma trận không suy biến) mới khả nghịch. Nếu ma trận của bạn bị suy biến, công cụ sẽ báo rõ thay vì trả về những con số vô nghĩa.
Cách sử dụng
Chọn cấp ma trận \(n\) từ ô thả xuống, lưới nhập liệu sẽ tự điều chỉnh thành \(n\) hàng và \(n\) cột. Nhập một số thực vào từng ô của ma trận \(A\). Tiếp theo, chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị trong kết quả, rồi đọc ma trận nghịch đảo, định thức của nó và phương pháp đã dùng. Lưu ý: cài đặt số chữ số có nghĩa chỉ ảnh hưởng đến cách làm tròn khi hiển thị, chứ không tác động đến quá trình tính toán bên trong — vốn luôn chạy ở độ chính xác kép (double) đầy đủ.
Giải thích phương pháp
Công cụ sử dụng phân tích LU có chọn trụ từng phần (partial pivoting). Trước hết, nó phân tích ma trận thành $$PA = LU,$$ trong đó \(P\) là ma trận hoán vị dùng để đổi chỗ các hàng nhằm giữ trụ (pivot) lớn nhất trên đường chéo (cách này giúp tăng độ ổn định số học và tránh việc chia cho những số quá nhỏ), \(L\) là ma trận tam giác dưới đơn vị, còn \(U\) là ma trận tam giác trên. Sau đó, với mỗi cột \(e_k\) của ma trận đơn vị, công cụ giải \(L y = P e_k\) bằng phép thế xuôi và giải \(U x = y\) bằng phép thế ngược; nghiệm \(x\) thu được chính là cột thứ \(k\) của \(A^{-1}\). Định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo của \(U\) nhân với dấu của phép hoán vị hàng:
$$A^{-1} = U^{-1} L^{-1} P, \qquad \det(A) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$
Ví dụ minh họa
Lấy \(A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}\). Định thức của nó là $$4 \cdot 3 - 3 \cdot 6 = 12 - 18 = -6,$$ khác 0 nên \(A\) khả nghịch. Dùng công thức rút gọn cho ma trận 2×2, ta có $$A^{-1} = \frac{1}{\det} \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6666666667 \end{bmatrix}.$$ Nhân \(A\) với ma trận nghịch đảo này sẽ ra đúng ma trận đơn vị, qua đó xác nhận kết quả là chính xác.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra nếu ma trận của tôi bị suy biến? Nếu định thức bằng 0 (trong một sai số rất nhỏ), ma trận không có nghịch đảo và công cụ sẽ hiển thị thông báo "suy biến / không khả nghịch".
Vì sao dùng phân tích LU thay cho công thức ma trận phụ hợp (adjugate)? Phân tích LU có chọn trụ ổn định về mặt số học và hiệu quả hơn hẳn so với khai triển theo phần phụ đại số (cofactor) đối với các ma trận lớn — chi phí của cách khai triển này tăng theo giai thừa.
Việc chọn số chữ số có nghĩa có làm thay đổi kết quả tính toán không? Không. Phép tính luôn được thực hiện ở độ chính xác đầy đủ; cài đặt này chỉ quyết định số chữ số có nghĩa được hiển thị mà thôi.
