Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la inversa de una matriz real cuadrada A de tamaño n×n. La inversa A⁻¹ es la única matriz que cumple que A por A⁻¹ es igual a la matriz identidad I. No todas las matrices tienen inversa: solo son invertibles las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero (las matrices no singulares). Si tu matriz es singular, la calculadora te lo advierte en lugar de devolver números sin sentido.
Cómo usarla
Elige el tamaño n de la matriz en el menú desplegable; al hacerlo, la cuadrícula de entrada se ajusta a n filas y n columnas. Escribe un número real en cada celda de la matriz A. Selecciona cuántas cifras significativas quieres ver en el resultado y, a continuación, consulta la matriz inversa, su determinante y el método empleado. El ajuste de cifras significativas solo afecta al redondeo de lo que se muestra en pantalla, no al cálculo interno, que siempre se realiza con doble precisión completa.
El método, paso a paso
La calculadora utiliza la descomposición LU con pivoteo parcial. Primero factoriza la matriz como \(PA = LU\), donde P es una matriz de permutación que intercambia filas para mantener en la diagonal el mayor pivote disponible (esto mejora la estabilidad numérica y evita dividir entre números diminutos), L es triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior. Después, para cada columna \(e_k\) de la identidad, resuelve $$L\,y = P e_k$$ por sustitución hacia adelante y $$U x = y$$ por sustitución hacia atrás; el vector x resultante es la columna k-ésima de A⁻¹. El determinante es el producto de los elementos de la diagonal de U multiplicado por el signo de la permutación de filas: $$\det(A) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$ La relación general es: $$P\,A = L\,U \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = U^{-1} L^{-1} P$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}\). Su determinante es $$\det(A) = 4 \times 3 - 3 \times 6 = 12 - 18 = -6,$$ que es distinto de cero, así que A es invertible. Aplicando la fórmula cerrada para matrices 2×2, $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0{,}5 & 0{,}5 \\ 1 & -0{,}6666666667 \end{bmatrix}.$$ Al multiplicar A por esta inversa obtenemos la matriz identidad, lo que confirma el resultado.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si mi matriz es singular? Si el determinante es cero (dentro de una tolerancia muy pequeña), la matriz no tiene inversa y la calculadora muestra un mensaje de «singular / no invertible».
¿Por qué usar la descomposición LU en lugar de la fórmula de la adjunta? La descomposición LU con pivoteo parcial es mucho más estable numéricamente y eficiente para matrices grandes que el desarrollo por cofactores, cuyo coste crece de forma factorial.
¿La elección de cifras significativas cambia el cálculo? No. El cálculo se realiza siempre con precisión completa; ese ajuste solo controla cuántas cifras significativas se muestran.
