¿Qué es la calculadora de matriz inversa?
Esta herramienta calcula la inversa de una matriz cuadrada, ya sea de 2×2 o de 3×3. La inversa de una matriz A, que se escribe A⁻¹, es aquella que cumple \(A\cdot A^{-1} = I\), donde I es la matriz identidad. La inversa solo existe cuando el determinante es distinto de cero; en caso contrario, la matriz se llama singular y no se puede invertir.
Cómo usarla
Elige el tamaño de la matriz (2×2 o 3×3), introduce cada valor en su celda correspondiente y la calculadora te devolverá el determinante y la matriz inversa completa. En una matriz 2×2 solo se utilizan las cuatro celdas superiores izquierdas (a11, a12, a21, a22). Si el determinante es cero, la herramienta te avisará de que la matriz no tiene inversa.
La fórmula explicada
El método general se basa en la adjunta: $$A^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{\det A}.$$ La adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores. Para una matriz 2×2 [[a, b], [c, d]] todo se simplifica a \(\frac{1}{ad-bc}\cdot[[d, -b], [-c, a]]\). Para una matriz 3×3 calculamos los nueve cofactores, los trasponemos y dividimos cada uno entre el determinante.
Ejemplo resuelto
Tomemos A = [[4, 7], [2, 6]]. El determinante es $$(4\cdot 6) - (7\cdot 2) = 24 - 14 = 10.$$ La inversa es $$\frac{1}{10}\cdot[[6, -7], [-2, 4]] = [[0{,}6, -0{,}7], [-0{,}2, 0{,}4]].$$ Puedes comprobarlo: al multiplicar \(A\cdot A^{-1}\) obtienes la matriz identidad.
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi matriz no tiene inversa? Porque su determinante es cero: las filas o las columnas son linealmente dependientes, así que la matriz es singular.
¿La inversa siempre existe? No. Solo las matrices cuadradas con determinante distinto de cero tienen inversa.
¿Cómo puedo verificar el resultado? Multiplica la matriz original por la inversa que has calculado; el resultado debe ser la matriz identidad (unos en la diagonal y ceros en el resto).
