Qu'est-ce que la calculatrice de matrice inverse ?
Cet outil calcule l'inverse d'une matrice carrée — qu'elle soit 2×2 ou 3×3. L'inverse d'une matrice A, notée \(A^{-1}\), est la matrice qui vérifie la relation \(A \cdot A^{-1} = I\), où \(I\) désigne la matrice identité. Cet inverse n'existe que si le déterminant est non nul ; dans le cas contraire, la matrice est dite singulière et ne peut pas être inversée.
Comment l'utiliser
Choisissez la taille de votre matrice (2×2 ou 3×3), saisissez chaque coefficient dans la cellule correspondante, et la calculatrice vous renvoie le déterminant ainsi que la matrice inverse complète. Pour une matrice 2×2, seules les quatre cases situées en haut à gauche (a11, a12, a21, a22) sont prises en compte. Si le déterminant est nul, l'outil vous indique que la matrice n'admet pas d'inverse.
La formule expliquée
La méthode générale repose sur la comatrice transposée :
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$L'adjointe (ou comatrice transposée) correspond à la transposée de la matrice des cofacteurs. Pour une matrice 2×2 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\), cela se simplifie en
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$Pour une matrice 3×3, on calcule les neuf cofacteurs, on les transpose, puis on divise chacun d'eux par le déterminant.
Exemple détaillé
Prenons \(A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\). Le déterminant vaut
$$\det A = (4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$L'inverse est donc
$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{bmatrix}$$Vous pouvez vérifier que \(A \cdot A^{-1}\) donne bien la matrice identité.
Questions fréquentes
Pourquoi ma matrice n'a-t-elle pas d'inverse ? Parce que son déterminant est nul : ses lignes ou ses colonnes sont linéairement dépendantes, ce qui rend la matrice singulière.
L'inverse existe-t-il toujours ? Non. Seules les matrices carrées dont le déterminant est non nul sont inversibles.
Comment vérifier le résultat ? Multipliez la matrice initiale par l'inverse obtenu : vous devez retrouver la matrice identité (des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs).
