Qu'est-ce que l'inverse d'une matrice 2x2 ?

L'inverse d'une matrice carrée A, notée $A^{-1}$, est la matrice qui vérifie $A \cdot A^{-1} = I$, où $I$ désigne la matrice identité. Pour une matrice 2x2, on peut déterminer cet inverse à l'aide d'une seule formule compacte. Ce calculateur calcule le déterminant ainsi que chaque élément de l'inverse en un instant, et vous indique les cas où aucun inverse n'existe.

Deux matrices 2x2 A et A inverse se multipliant pour donner la matrice identité — Multiplier une matrice par son inverse donne la matrice identité.

Comment l'utiliser

Saisissez les quatre coefficients de votre matrice : a et b sur la première ligne, c et d sur la seconde. Le calculateur commence par déterminer le déterminant $ad - bc$. S'il est non nul, il renvoie la matrice inverse complète ; s'il est nul, il signale que la matrice est singulière (aucun inverse n'existe).

La formule expliquée

Pour une matrice $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, le déterminant vaut

$$\det(A) = ad - bc$$

L'inverse s'écrit alors

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Concrètement : on échange a et d, on change le signe de b et de c, puis on divise chaque coefficient par le déterminant. Lorsque $\det = 0$, la division est impossible : la matrice n'admet donc pas d'inverse.

Schéma illustrant la transformation par la formule de l'inverse d'une matrice 2x2 — L'inverse échange a et d, change le signe de b et c, et divise par le déterminant.

Exemple résolu

Prenons $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$. Le déterminant est

$$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$

On obtient donc

$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{bmatrix}$$

Vous pouvez vérifier le résultat en calculant le produit $A \cdot A^{-1}$ : vous devez retrouver la matrice identité.

Plus d'exemples résolus

Pour une matrice 2×2 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, l'inverse est $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$, valide uniquement quand le déterminant $ad-bc \neq 0$.

Exemple 1 — Une matrice avec des entrées négatives

Soit $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$, donc $a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-1$.

Déterminant : $ad - bc = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 = $10.
Échanger $a$ et $d$, inverser le signe de $b$ et $c$ : $\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
Diviser par le déterminant : $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.3 \\ -0.4 & 0.2 \end{bmatrix}$.

Vérification : $A\,A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, la matrice identité.

Exemple 2 — Une matrice singulière (pas d'inverse)

Soit $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, donc $a=2,\ b=4,\ c=1,\ d=2$.

Déterminant : $ad - bc = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = $0.
Parce que le déterminant est $0$, le facteur $\frac{1}{ad-bc}$ est indéfini (division par zéro).
Par conséquent $A$ est singulière et n'a pas d'inverse. Ici la deuxième ligne $(1,2)$ est exactement la moitié de la première ligne $(2,4)$, donc les lignes sont linéairement dépendantes.

Exemple 3 — Entrées fractionnaires nettes

Soit $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, donc $a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4$.

Déterminant : $ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
Construire l'adjointe : $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
Diviser par $-2$ : $A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}$.

Vous pouvez vérifier en multipliant $A$ et $A^{-1}$ avec la calculatrice ; le résultat devrait être la matrice identité.

Termes clés expliqués

Déterminant: Une seule valeur scalaire calculée à partir de la matrice. Pour une matrice 2×2, elle est égale à $ad - bc$. Elle mesure comment la matrice met à l'échelle l'aire et indique si un inverse existe : l'inverse existe uniquement quand le déterminant est non nul.
Matrice singulière: Une matrice carrée dont le déterminant est $0$. Une matrice singulière n'a pas d'inverse car la formule nécessite de diviser par le déterminant. Ses lignes (et colonnes) sont linéairement dépendantes.
Matrice inversible / matrice non singulière: Une matrice carrée avec un déterminant non nul. Elle a un inverse unique $A^{-1}$ tel que $A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$. « Inversible » et « non singulière » signifient la même chose.
Matrice identité: La matrice carrée avec des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs, écrite $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ pour le cas 2×2. Multiplier toute matrice par $I$ la laisse inchangée, et $A\,A^{-1}=I$.
Matrice inverse $(A^{-1})$: La matrice qui « annule » $A$ : l'unique matrice satisfaisant $A\,A^{-1} = I$. Pour une matrice 2×2, elle se trouve en échangeant $a$ et $d$, en inversant le signe de $b$ et $c$, et en divisant chaque entrée par le déterminant.
Les entrées $a, b, c, d$: Les quatre nombres de la matrice $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ : $a$ est en haut à gauche (ligne 1, colonne 1), $b$ est en haut à droite (ligne 1, colonne 2), $c$ est en bas à gauche (ligne 2, colonne 1), et $d$ est en bas à droite (ligne 2, colonne 2). $a$ et $d$ forment la diagonale principale.

FAQ

Quand une matrice 2x2 n'a-t-elle pas d'inverse ? Lorsque son déterminant $ad - bc$ est égal à zéro. On dit alors que la matrice est singulière.

L'inverse peut-il contenir des décimales ? Oui : la division par le déterminant donne souvent des coefficients fractionnaires.

Comment vérifier ma réponse ? Multipliez la matrice de départ par l'inverse calculé ; vous devez obtenir la matrice identité 2x2 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Élément de l'inverse	Valeur
A⁻¹ ligne 1, colonne 1	0,6
A⁻¹ ligne 1, colonne 2	-0,7
A⁻¹ ligne 2, colonne 1	-0,2
A⁻¹ ligne 2, colonne 2	0,4

Calculateur d'inverse de matrice 2x2

Entrez le calcul

Formule

Résultats