Qu'est-ce que le calculateur de valeurs propres 2×2 ?
Cet outil détermine les valeurs propres de n'importe quelle matrice 2×2 [[a, b], [c, d]]. Les valeurs propres sont les scalaires \(\lambda\) pour lesquels l'équation \(Av = \lambda v\) admet une solution \(v\) non nulle. Une matrice 2×2 possède toujours deux valeurs propres (en comptant leur multiplicité), qui peuvent être réelles ou former une paire complexe conjuguée. Le calculateur affiche les deux valeurs propres ainsi que la trace, le déterminant et le discriminant, afin que vous puissiez suivre précisément la manière dont le résultat a été obtenu.
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre coefficients de la matrice : a et b sur la première ligne, c et d sur la deuxième. Cliquez ensuite sur Calculer. Si le discriminant est nul ou positif, vous obtenez deux valeurs propres réelles ; s'il est négatif, vous obtenez une paire conjuguée présentée sous la forme \(p + qi\) et \(p - qi\).
La formule expliquée
Le polynôme caractéristique d'une matrice 2×2 s'écrit \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). En posant la trace \(\text{tr} = a + d\) et le déterminant \(\det = ad - bc\), la formule du second degré donne $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}.$$ La quantité sous la racine, \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\), est le discriminant. Lorsqu'elle est négative, la partie réelle de chaque valeur propre vaut \(\text{tr}/2\) et la partie imaginaire vaut \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\).
Exemple détaillé
Prenons la matrice de rotation [[0, −1], [1, 0]]. Ici \(a=0\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\), donc \(\text{tr} = 0\) et \(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\). Le discriminant vaut $$0^{2} - 4\cdot 1 = -4,$$ soit une valeur négative. La partie réelle est \(0/2 = 0\) et la partie imaginaire est \(\sqrt{4} / 2 = 1\). Les valeurs propres sont donc \(0 + 1i\) et \(0 - 1i\), c'est-à-dire \(\pm i\).
FAQ
Que signifie un discriminant négatif ? La matrice n'a aucune valeur propre réelle ; elle possède en revanche une paire complexe conjuguée, ce qui est fréquent pour les matrices de type rotation.
Les deux valeurs propres peuvent-elles être égales ? Oui. Lorsque le discriminant est exactement nul, la matrice possède une seule valeur propre double (dégénérée) égale à \(\text{tr}/2\).
Quel est le lien entre les valeurs propres, la trace et le déterminant ? La somme des valeurs propres est égale à la trace, et leur produit est égal au déterminant.
