Калькулятор собственных значений матрицы 2×2

Введите расчет

a (строка 1, столбец 1)

b (строка 1, столбец 2)

c (строка 2, столбец 1)

d (строка 2, столбец 2)

Результатов

Собственное значение λ₁

3

Собственное значение λ₂

1

Мнимая часть (±)	0
След (a + d)	4
Определитель (ad − bc)	3
Дискриминант (tr² − 4·det)	4

Что такое калькулятор собственных значений матрицы 2×2?

Этот инструмент находит собственные значения любой матрицы 2×2 вида [[a, b], [c, d]]. Собственные значения — это скаляры \(\lambda\), при которых уравнение \(Av = \lambda v\) имеет ненулевое решение \(v\). У матрицы 2×2 всегда два собственных значения (с учётом кратности), и они могут быть действительными либо образовывать комплексно-сопряжённую пару. Калькулятор показывает оба собственных значения вместе со следом, определителем и дискриминантом, чтобы вы видели, как именно получен результат.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре элемента матрицы: a и b в первой строке, c и d во второй. Нажмите «Рассчитать». Если дискриминант равен нулю или положителен, вы получите два действительных собственных значения; если он отрицателен — сопряжённую пару вида \(p + qi\) и \(p - qi\).

Разбор формулы

Характеристический многочлен матрицы 2×2 имеет вид \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). Если обозначить след \(\text{tr} = a + d\) и определитель \(\det = ad - bc\), то по формуле для квадратного уравнения получаем $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}.$$ Выражение под корнем, \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\), и есть дискриминант. Когда он отрицателен, действительная часть каждого собственного значения равна \(\text{tr}/2\), а мнимая часть — \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\).

Реклама

Знак дискриминанта определяет, действительные собственные значения или комплексные.

Собственные значения находятся из следа и определителя матрицы 2x2.

Пример с решением

Возьмём матрицу поворота [[0, −1], [1, 0]]. Здесь \(a=0\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\), поэтому \(\text{tr} = 0\) и \(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\). Дискриминант равен \(0^{2} - 4\cdot 1 = -4\), то есть он отрицателен. Действительная часть равна \(0/2 = 0\), а мнимая — \(\sqrt{4} / 2 = 1\). Следовательно, собственные значения равны \(0 + 1i\) и \(0 - 1i\), то есть \(\pm i\).

Частые вопросы

Что означает отрицательный дискриминант? У матрицы нет действительных собственных значений — вместо них есть комплексно-сопряжённая пара. Это типично для матриц, описывающих поворот.

Могут ли два собственных значения совпадать? Да. Когда дискриминант в точности равен нулю, у матрицы одно кратное (вырожденное) собственное значение, равное \(\text{tr}/2\).

Как собственные значения связаны со следом и определителем? Сумма собственных значений равна следу, а их произведение — определителю.