Что такое калькулятор угла между двумя векторами?
Этот инструмент находит угол между двумя векторами, заданными своими координатами в плоскости (2D) или в пространстве (3D). В основе расчёта лежит скалярное произведение — одно из ключевых тождеств векторной алгебры. Где бы вы ни работали — в физике, компьютерной графике, машинном обучении или инженерных задачах — определить угол между двумя направлениями приходится постоянно, и это умение действительно базовое.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты x, y и z для вектора A и вектора B. Для задач на плоскости просто оставьте поля z пустыми или впишите туда 0. Калькулятор покажет угол сразу в градусах и радианах, а заодно выведет скалярное произведение, длину (модуль) каждого вектора и косинус угла — так вы сможете проследить весь ход решения.
Разбор формулы
Угол \(\theta\) находится из соотношения:
$$\theta = \arccos\left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lVert \vec{a} \rVert \, \lVert \vec{b} \rVert} \right)$$
Здесь скалярное произведение равно \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\), а модуль каждого вектора — это квадратный корень из суммы квадратов координат, например \(\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\). Разделив скалярное произведение на произведение модулей, получаем \(\cos \theta\), а взяв арккосинус — сам угол. Он всегда лежит в диапазоне от 0° до 180°.
Пример расчёта
Возьмём \(\vec{a} = (1, 0, 0)\) и \(\vec{b} = (1, 1, 0)\). Скалярное произведение: \(1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1\). Модули равны \(\lVert \vec{a} \rVert = 1\) и \(\lVert \vec{b} \rVert = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Тогда $$\cos \theta = \frac{1}{1 \times 1{,}4142} \approx 0{,}7071,$$ а значит \(\theta = \arccos(0{,}7071) = 45^\circ\).
Частые вопросы
Подходит ли он для плоских (2D) векторов? Да — оставьте координаты z равными 0, и формула сводится к случаю на плоскости.
Что будет, если вектор нулевой? Для нулевого вектора угол не определён, поэтому, чтобы избежать деления на ноль, калькулятор возвращает 0.
Почему результат всегда от 0 до 180 градусов? Функция арккосинуса выдаёт значения только в этом диапазоне — он соответствует наименьшему ненаправленному углу между двумя векторами.
