Máy tính góc giữa hai vectơ là gì?
Công cụ này tính góc giữa hai vectơ khi biết các thành phần tọa độ của chúng trong không gian 2 chiều hoặc 3 chiều. Cách tính dựa trên công thức tích vô hướng — một trong những hệ thức nền tảng nhất của đại số vectơ. Dù bạn đang làm việc với vật lý, đồ họa máy tính, học máy hay kỹ thuật, việc xác định góc giữa hai hướng luôn là một thao tác quen thuộc và quan trọng.
Cách sử dụng
Nhập các thành phần x, y và z của Vectơ A và Vectơ B. Với bài toán hai chiều, bạn chỉ cần để trống ô z hoặc đặt giá trị bằng 0. Máy tính sẽ trả về góc theo cả độ và radian, đồng thời hiển thị tích vô hướng, độ lớn của từng vectơ và cosin của góc để bạn dễ dàng theo dõi từng bước tính toán.
Giải thích công thức
Góc θ thỏa mãn hệ thức:
$$\theta = \arccos\left( \dfrac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{A} \rVert \, \lVert \vec{B} \rVert} \right)$$
Trong đó tích vô hướng là \(\vec{A} \cdot \vec{B} = \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z\), và độ lớn của mỗi vectơ là căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần, ví dụ \(\lVert \vec{A} \rVert = \sqrt{\text{A}_x^2 + \text{A}_y^2 + \text{A}_z^2}\). Lấy tích vô hướng chia cho tích hai độ lớn ta được cos θ, rồi lấy arccos sẽ ra góc cần tìm — luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 180°.
Ví dụ minh họa
Xét a = (1, 0, 0) và b = (1, 1, 0). Tích vô hướng là $$1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1.$$ Độ lớn lần lượt là \(\lVert \vec{A} \rVert = 1\) và \(\lVert \vec{B} \rVert = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Vậy $$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1{,}4142} \approx 0{,}7071,$$ và \(\theta = \arccos(0{,}7071) = 45°\).
Câu hỏi thường gặp
Công cụ có dùng được cho vectơ 2D không? Có — chỉ cần để thành phần z bằng 0, công thức sẽ tự rút gọn về trường hợp trong mặt phẳng.
Nếu một vectơ bằng không thì sao? Góc không xác định đối với vectơ không, nên máy tính sẽ trả về 0 để tránh phép chia cho 0.
Tại sao kết quả luôn nằm trong khoảng 0° đến 180°? Hàm arccos chỉ cho ra giá trị trong khoảng này, tương ứng với góc nhỏ nhất, không xét chiều, giữa hai vectơ.
