Công cụ này làm gì?
Công cụ giúp bạn tính góc giữa hai vector trong không gian 2D hoặc 3D dựa trên tích vô hướng. Bạn chỉ cần nhập các thành phần của vector a và vector b, công cụ sẽ trả về góc tính theo cả độ và radian, kèm theo tích vô hướng, độ dài (mô-đun) của từng vector và cosin của góc. Công cụ phù hợp cho toán học thuần túy, vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính cũng như các bài toán đo độ tương đồng trong học máy (machine learning).
Cách sử dụng
Hãy nhập các thành phần x, y (và z nếu cần) của mỗi vector. Với vector 2D, bạn chỉ cần để trống ô z hoặc nhập 0. Nhấn nút tính toán để xem kết quả. Góc trả về luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 180° — đây là góc hình học (góc nhỏ nhất) giữa hai hướng vector.
Giải thích công thức
Tích vô hướng liên hệ với góc qua biểu thức \(a \cdot b = |a||b|\cos\theta\). Giải ra \(\theta\) ta được $$\theta = \arccos\!\left( \frac{a \cdot b}{|a||b|} \right)$$ Tích vô hướng được tính theo từng thành phần: $$a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$ Độ dài của mỗi vector là căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần: $$|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$ Kết quả của phép chia được giới hạn trong khoảng \([-1, 1]\) trước khi lấy arccos nhằm tránh sai số làm tròn.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a = (1, 0, 0)\) và \(b = (1, 1, 0)\). Tích vô hướng là \(1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1\). Độ dài lần lượt là \(|a| = 1\) và \(|b| = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Vậy $$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1{,}4142} \approx 0{,}7071$$ suy ra \(\theta = \arccos(0{,}7071) = 45°\), tương đương khoảng \(0{,}7854\) radian.
Diễn giải Kết quả Của Bạn
Góc \(\theta\) được trả về bởi máy tính mô tả cách hai vectơ định hướng tương đối với nhau, độc lập với độ dài của chúng. Dấu và kích thước của \(\cos\theta\) cho bạn biết mối quan hệ hình học một cách nhanh chóng.
- \(\theta = 0^\circ\) (\(\cos\theta = 1\)) — song song / cùng hướng. Các vectơ chỉ theo cùng một hướng; một vectơ là một bội số vô hướng dương của vectơ kia.
- \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) (\(\cos\theta > 0\)) — góc nhọn. Tích vô hướng dương và các vectơ chỉ theo những hướng tương tự nhau.
- \(\theta = 90^\circ\) (\(\cos\theta = 0\)) — trực giao (vuông góc). Tích vô hướng chính xác bằng không. Đây là tiêu chuẩn xác định cho tính vuông góc.
- \(90^\circ < \theta < 180^\circ\) (\(\cos\theta < 0\)) — góc tù. Tích vô hướng âm; các vectơ chỉ theo những hướng đối lập chung chung.
- \(\theta = 180^\circ\) (\(\cos\theta = -1\)) — song song ngược / hướng đối lập. Một vectơ là một bội số vô hướng âm của vectơ kia.
Trong học máy và phân tích văn bản, đại lượng \(\cos\theta\) được gọi là độ tương tự cosin. Được diễn giải trực tiếp: giá trị 1 có nghĩa là hướng giống hệt nhau (tương tự tối đa), 0 có nghĩa là trực giao/không liên quan, và −1 có nghĩa là hướng đối lập. Vì nó bỏ qua độ lớn, hai tài liệu hoặc nhúng với cùng một hướng nhưng độ dài khác nhau được tính điểm giống hệt nhau. Góc và độ tương tự mang cùng một thông tin — góc đơn giản là \(\arccos\) của độ tương tự.
Giá Trị Góc Tham Chiếu Phổ Biến
Những góc tiêu chuẩn này và các giá trị cosin chính xác của chúng rất hữu ích để kiểm tra kết quả và nhận dạng các hướng phổ biến. Góc được tìm thấy từ \(\theta = \arccos(\cos\theta)\).
| Góc (độ) | Góc (radian) | \(\cos\theta\) | Mối Quan Hệ |
|---|---|---|---|
| 0° | \(0\) | 1.0000 | Song song (cùng hướng) |
| 30° | \(\pi/6\) | 0.8660 | Nhọn |
| 45° | \(\pi/4\) | 0.7071 | Nhọn |
| 60° | \(\pi/3\) | 0.5000 | Nhọn |
| 90° | \(\pi/2\) | 0.0000 | Trực giao (vuông góc) |
| 120° | \(2\pi/3\) | −0.5000 | Tù |
| 135° | \(3\pi/4\) | −0.7071 | Tù |
| 150° | \(5\pi/6\) | −0.8660 | Tù |
| 180° | \(\pi\) | −1.0000 | Song song ngược (hướng đối lập) |
Để chuyển đổi kết quả độ thập phân như 60° thành độ, phút và giây, bạn có thể sử dụng công cụ chuyển đổi 60°.
Câu hỏi thường gặp
Tôi có dùng được cho vector 2D không? Có — bạn chỉ cần để thành phần z bằng 0, công thức sẽ tự động rút gọn về trường hợp 2D.
Vì sao góc không bao giờ vượt quá 180°? Hàm arccos trả về giá trị từ 0 đến \(\pi\) (180°), tức là góc nhỏ nhất giữa hai hướng vector, không phụ thuộc vào chiều của chúng.
Nếu một vector bằng không thì sao? Vector không không có hướng nên góc sẽ không xác định; trong trường hợp một độ dài bằng 0, công cụ trả về 0° để tránh phép chia cho 0.
