ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة إيجاد الزاوية بين متجهين في الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد اعتمادًا على الضرب القياسي (الجداء النقطي). أدخل مركّبات المتجه a والمتجه b، فتُعيد لك الحاسبة الزاوية بالدرجات والراديان معًا، إلى جانب قيمة الضرب القياسي، ومقدار كل متجه، وجيب تمام الزاوية. وهي مفيدة في الرياضيات البحتة والفيزياء والهندسة ورسوميات الحاسوب وحساب التشابه في تعلّم الآلة.
طريقة الاستخدام
اكتب مركّبات x وy (والمركّبة z اختيارية) لكل متجه. أمّا في حالة المتجهات ثنائية الأبعاد، فاترك خانات z فارغة أو اضبطها على 0. اضغط على زر الحساب لعرض الزاوية. والزاوية الناتجة تقع دائمًا بين 0° و180°، وهي الزاوية الهندسية (الأصغر) بين الاتجاهين.
شرح الصيغة
يرتبط الضرب القياسي بالزاوية عبر العلاقة \( a \cdot b = |a|\,|b|\cos\theta \). وبحلّ المعادلة لإيجاد \(\theta\) نحصل على
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{a \cdot b}{|a|\,|b|} \right)$$ويُحسب الضرب القياسي مركّبةً بمركّبة:
$$a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$أمّا مقدار كل متجه فهو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركّباته:
$$|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$ويُقيَّد ناتج القسمة ضمن المجال \([-1, 1]\) قبل حساب جيب التمام العكسي، تفاديًا لأخطاء التقريب.
مثال محلول
لنفرض أن \( a = (1, 0, 0) \) وأن \( b = (1, 1, 0) \). يكون الضرب القياسي \( 1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1 \). والمقداران هما \( |a| = 1 \) و\( |b| = \sqrt{2} \approx 1.4142 \). ومن ثَمّ \( \cos\theta = 1 / (1 \times 1.4142) \approx 0.7071 \)، فتكون \( \theta = \arccos(0.7071) = 45° \)، أي نحو \( 0.7854 \) راديان.
تفسير النتيجة
الزاوية \(\theta\) التي يعيدها الحاسبة تصف كيفية توجه متجهين بالنسبة لبعضهما البعض، بشكل مستقل عن أطوالهما. الإشارة وحجم \(\cos\theta\) يخبرانك بالعلاقة الهندسية بنظرة سريعة.
- \(\theta = 0^\circ\) (\(\cos\theta = 1\)) — متوازي / نفس الاتجاه. يشير المتجهان بالضبط في نفس الاتجاه؛ أحدهما هو مضاعف عددي موجب للآخر.
- \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) (\(\cos\theta > 0\)) — زاوية حادة. الضرب النقطي موجب والمتجهات تشير بشكل عام نحو اتجاهات متشابهة.
- \(\theta = 90^\circ\) (\(\cos\theta = 0\)) — متعامد (عمودي). الضرب النقطي يساوي صفراً بالضبط. هذا هو الاختبار المحدّد للتعامد.
- \(90^\circ < \theta < 180^\circ\) (\(\cos\theta < 0\)) — زاوية منفرجة. الضرب النقطي سالب؛ المتجهات تشير بشكل عام نحو اتجاهات متعاكسة.
- \(\theta = 180^\circ\) (\(\cos\theta = -1\)) — متعاكس متوازي / اتجاه معاكس. أحد المتجهات هو مضاعف عددي سالب للآخر.
في التعلم الآلي وتحليل النصوص، تسمى الكمية \(\cos\theta\) نفسها التشابه الكوسيني. عند تفسيرها مباشرة: قيمة 1 تعني اتجاهاً متطابقاً (متشابهة تماماً)، 0 تعني متعامد/غير مرتبط، و −1 تعني معاكس. لأنها تتجاهل الحجم، فإن وثيقتين أو تضمينين لهما نفس الاتجاه لكن أطوال مختلفة سيحصلان على درجات متطابقة. الزاوية والتشابه يحملان نفس المعلومات — الزاوية ببساطة هي \(\arccos\) للتشابه.
قيم المراجع الزاوية الشائعة
هذه الزوايا القياسية وقيم الجيب التمام الدقيقة لها مفيدة للتحقق من النتائج والتعرف على الاتجاهات الشائعة. الزاوية توجد من \(\theta = \arccos(\cos\theta)\).
| الزاوية (درجات) | الزاوية (راديان) | \(\cos\theta\) | العلاقة |
|---|---|---|---|
| 0° | \(0\) | 1.0000 | متوازي (نفس الاتجاه) |
| 30° | \(\pi/6\) | 0.8660 | حادة |
| 45° | \(\pi/4\) | 0.7071 | حادة |
| 60° | \(\pi/3\) | 0.5000 | حادة |
| 90° | \(\pi/2\) | 0.0000 | متعامد (عمودي) |
| 120° | \(2\pi/3\) | −0.5000 | منفرجة |
| 135° | \(3\pi/4\) | −0.7071 | منفرجة |
| 150° | \(5\pi/6\) | −0.8660 | منفرجة |
| 180° | \(\pi\) | −1.0000 | متعاكس متوازي (معاكس) |
لتحويل نتيجة بالدرجات العشرية مثل 60° إلى درجات ودقائق وثواني، يمكنك استخدام تحويل 60°.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني استخدام متجهات ثنائية الأبعاد؟ نعم — اترك مركّبات z مساوية للصفر، فتتحول الصيغة تلقائيًا إلى الحالة ثنائية الأبعاد.
لماذا لا تتجاوز الزاوية 180° أبدًا؟ لأن دالة جيب التمام العكسي تُعيد قيمًا تتراوح بين 0 وπ (أي 180°)، وهي تمثّل أصغر زاوية بين الاتجاهين بصرف النظر عن توجّههما.
ماذا لو كان أحد المتجهين معدومًا؟ المتجه المعدوم لا اتجاه له، لذا تكون الزاوية غير معرّفة؛ وتُعيد هذه الحاسبة القيمة 0° عندما يكون أحد المقادير صفرًا، تجنّبًا للقسمة على صفر.
