ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب حاسبة الاحتمال بين قيمتي درجة Z المساحة الواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي القياسي بين أي قيمتين من قيم درجة Z تختارهما. في علم الإحصاء، يكون للتوزيع الطبيعي القياسي متوسط حسابي يساوي 0 وانحراف معياري يساوي 1. وتساوي المساحة الكلية تحت منحناه الجرسي الشكل 1 (أي 100%)، بينما تمثّل المساحة المحصورة بين نقطتين احتمال وقوع قيمة معيارية ضمن ذلك المجال. تعرض هذه الأداة هذا الاحتمال المركزي إلى جانب احتمالَي الذيلين الواقعين على كلا الجانبين.
البيانات التي تُدخلها
- درجة Z الدنيا: الحد الأصغر من الحدّين على المحور الأفقي.
- درجة Z العليا: الحد الأكبر.
لا داعي للقلق بشأن الترتيب — فإذا أدخلت عن طريق الخطأ قيمة أكبر كحدٍّ أدنى، تقوم الحاسبة تلقائيًا بتبديل القيمتين بحيث يُعامَل العدد الأصغر دائمًا باعتباره الحدّ الأيسر.
المعادلة المستخدمة
لنرمز بـ Φ(z) إلى دالة التوزيع التراكمي (CDF) للتوزيع الطبيعي القياسي — أي المساحة الواقعة إلى يسار قيمة درجة Z. تحسب الأداة ثلاث نتائج:
- الاحتمال بين القيمتين: P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)
- الذيل الأيسر: P(Z < z₁) = Φ(z₁)
- الذيل الأيمن: P(Z > z₂) = 1 − Φ(z₂)
تُعرض كل قيمة على هيئة احتمال عشري ونسبة مئوية معًا. ومجموع المساحات الثلاث يساوي دائمًا 1 (أي 100%).
مثال محلول
لنفترض أنك أدخلت درجة Z دنيا تساوي −1 ودرجة Z عليا تساوي 1. تكون قيمتا دالة التوزيع التراكمي Φ(1) ≈ 0.8413 وΦ(−1) ≈ 0.1587.
- الاحتمال بين القيمتين: 0.8413 − 0.1587 = 0.6827، أي نحو 68.27%
- الذيل الأيسر (أقل من −1): 0.1587، أي 15.87%
- الذيل الأيمن (أكبر من 1): 1 − 0.8413 = 0.1587، أي 15.87%
وهذا يؤكد "قاعدة الـ 68%" المعروفة — إذ تقع نحو 68% من البيانات الموزّعة توزيعًا طبيعيًا ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني استخدام قيم درجة Z سالبة؟ نعم. يمكن أن تكون درجة Z سالبة (قيم أقل من المتوسط) أو موجبة (أعلى منه). ويقبل كلا الحقلين أي عدد حقيقي.
ماذا لو كانت قيمتا درجة Z متساويتين؟ المساحة بين نقطتين متطابقتين تساوي صفرًا، لذا سيكون الاحتمال بين القيمتين 0%، بينما يستوعب الذيلان الأيسر والأيمن بقية المساحة.
كيف أحصل على درجة Z من البيانات الخام؟ حوّل القيمة الخام x باستخدام z = (x − المتوسط) ÷ الانحراف المعياري، ثم أدخل قيم درجة Z الناتجة هنا لإيجاد الاحتمال المحصور بينها.
