ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة احتمال وقوع متغير عشوائي X يتبع التوزيع الطبيعي بين قيمتين، a و b — ويُكتب على هيئة \(P(a < X < b)\). كل ما عليك هو إدخال متوسط التوزيع (\(\mu\)) والانحراف المعياري (\(\sigma\)) وقيمتي الحدّين. تقوم الحاسبة بتحويل كل حدّ إلى درجة معيارية \(z\)، ثم تستخدم دالة التوزيع التراكمي الطبيعي المعياري \(\Phi\) لإرجاع المساحة الدقيقة الواقعة تحت المنحنى الجرسي بين القيمتين.
كيفية الاستخدام
أدخل متوسط التوزيع وانحرافه المعياري، ثم اكتب القيمة الدنيا a والقيمة العليا b، واضغط على زر الحساب. تُظهر النتيجة الاحتمال على شكل كسر عشري (من 0 إلى 1) وعلى شكل نسبة مئوية، إلى جانب درجتي \(z\). وإذا أدخلت القيمتين بترتيب معكوس، فإن الحاسبة تتعامل تلقائيًا مع القيمة الأصغر باعتبارها a والأكبر باعتبارها b.
شرح المعادلة
الاحتمال الواقع بين a و b يساوي الدالة التراكمية عند b مطروحًا منها الدالة التراكمية عند a:
$$P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$يحوّل المقدار \(\frac{x-\mu}{\sigma}\) الدرجة الخام إلى درجة معيارية \(z\) — أي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة عن المتوسط. وتعطي \(\Phi(z)\) المساحة التراكمية الواقعة إلى يسار \(z\) تحت المنحنى الطبيعي المعياري. وبطرح المساحتين التراكميتين تبقى المساحة المحصورة تمامًا بين a و b. تعتمد هذه الحاسبة على تقريب عالي الدقة لدالة الخطأ (error function) لحساب \(\Phi\).
مثال محلول
لنفترض أن درجات الذكاء (IQ) تتبع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط \(\mu = 100\) وانحراف معياري \(\sigma = 15\)، وأنك تريد حساب \(P(85 < X < 115)\). تكون درجتا \(z\) هما \(\frac{85-100}{15} = -1\) و\(\frac{115-100}{15} = +1\). وبما أن \(\Phi(1) \approx 0.8413\) و\(\Phi(-1) \approx 0.1587\)، فإن الاحتمال \(\approx 0.8413 - 0.1587 = 0.6827\)، أي نحو 68.3% — وهي قاعدة الانحراف المعياري الواحد المعروفة.
الأسئلة الشائعة
هل يهمّ إن استخدمتُ < أم ≤؟ لا. ففي التوزيع الطبيعي المتصل يكون احتمال أي نقطة مفردة صفرًا، ولذلك فإن \(P(a < X < b)\) و\(P(a \le X \le b)\) متساويان تمامًا.
ماذا لو كان الانحراف المعياري صفرًا؟ يجب أن يكون الانحراف المعياري موجبًا؛ فعند \(\sigma = 0\) لا يكون التوزيع معرّفًا، ولذلك تُرجع الحاسبة القيمة 0.
ما مدى دقة النتيجة؟ تُحسب الدالة التراكمية باستخدام تقريب أبراموفيتز وستيغن (Abramowitz & Stegun)، وهو دقيق حتى نحو 7 منازل عشرية — أكثر من كافٍ للأعمال الإحصائية المعتادة.
