ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة احتمال الذيل الأيمن \(P(X > x)\) لمتغيّر يتبع التوزيع الطبيعي. عند إدخال قيمة \(x\)، والمتوسط للمجتمع الإحصائي \(\mu\)، والانحراف المعياري \(\sigma\)، تخبرك بمدى احتمال أن تكون أي مشاهدة عشوائية أكبر من \(x\). كما تعرض درجة z المعيارية واحتمال الذيل الأيسر المكمّل \(P(X \le x)\). إنها أداة إحصائية عامة تصلح لأي مجال — ضبط الجودة، ودرجات الاختبارات، والتمويل، والقياسات المخبرية.
طريقة الاستخدام
أدخل القيمة التي تهمّك (\(x\))، ومتوسط التوزيع (\(\mu\))، والانحراف المعياري (\(\sigma\)، الذي يجب أن يكون موجبًا). تقوم الحاسبة بتحويل قيمتك إلى درجة z، ثم تحسب دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري \(\Phi\) لإيجاد قيمة كلا الذيلين. ستحصل على احتمال أن تتجاوز \(X\) القيمة \(x\)، معروضًا في صورة عدد عشري ونسبة مئوية معًا.
شرح المعادلة
أولًا نحوّل \(x\) إلى درجة z عبر العلاقة: \(z = (x - \mu) / \sigma\). تعطينا الدالة \(\Phi(z)\) المساحة الواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري إلى يسار \(z\)، أي \(P(X \le x)\). وبما أن المساحة الكلية تساوي 1، فإن الذيل الأيمن يساوي ببساطة $$P(X > x) = 1 - \Phi(z).$$ تحسب هذه الأداة الدالة \(\Phi\) باستخدام تقريب عالي الدقة لدالة الخطأ (Abramowitz و Stegun 7.1.26)، وهو دقيق حتى نحو 7 منازل عشرية.
مثال محلول
لنفترض أن أطوال البالغين تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط \(\mu = 170\) سم وانحراف معياري \(\sigma = 10\) سم، وأردت حساب احتمال \(P(\text{الطول} > 185)\). عندئذ $$z = (185 - 170)/10 = 1.5.$$ ومن جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن \(\Phi(1.5) \approx 0.93319\)، وبالتالي $$P(X > 185) = 1 - 0.93319 \approx 0.06681,$$ أي نحو 6.68%.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو أردت حساب \(P(X < x)\) بدلًا من ذلك؟ هذا هو الذيل الأيسر، ويظهر في جدول النتائج بالصيغة \(P(X \le x) = \Phi(z)\). وفي التوزيع المتصل تتساوى \(P(X < x)\) مع \(P(X \le x)\).
لماذا يجب أن يكون \(\sigma\) موجبًا؟ الانحراف المعياري يقيس مدى التشتّت، ولذلك يجب أن يكون أكبر من الصفر؛ فالقيمة صفر أو أقل لا تعطي توزيعًا طبيعيًا صحيحًا.
ما مدى دقة النتيجة؟ تقريب الدالة \(\Phi\) دقيق حتى نحو سبع منازل عشرية، وهو أكثر من كافٍ للأعمال الإحصائية المعتادة.
