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परिणाम

P(X > x)

0.066807

6.6807% chance

Z-स्कोर	1.5
P(X ≤ x) = Φ(z)	0.933193

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन वाले चर के लिए दायाँ टेल प्रायिकता $P(X > x)$ निकालता है। जब आप कोई मान $x$, जनसंख्या का माध्य $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$ देते हैं, तो यह बताता है कि बेतरतीब चुने गए किसी प्रेक्षण के $x$ से बड़ा होने की कितनी संभावना है। साथ ही यह मानकीकृत z-स्कोर और इसका पूरक बायाँ टेल प्रायिकता $P(X \le x)$ भी दिखाता है। यह एक सार्वभौमिक सांख्यिकी टूल है और हर जगह काम आता है — गुणवत्ता नियंत्रण, परीक्षा अंक, वित्त और प्रयोगशाला मापन में।

इसका उपयोग कैसे करें

जिस मान में आपकी रुचि है उसे ($x$), डिस्ट्रिब्यूशन का माध्य ($\mu$) और मानक विचलन ($\sigma$, जो धनात्मक होना चाहिए) दर्ज करें। कैलकुलेटर आपके मान को z-स्कोर में बदलता है और मानक नॉर्मल संचयी वितरण फलन $\Phi$ का मूल्यांकन करके दोनों टेल निकालता है। X के $x$ से बड़ा होने की प्रायिकता दशमलव और प्रतिशत — दोनों रूपों में देखें।

सूत्र की व्याख्या

सबसे पहले $x$ को z-स्कोर में बदलें: $z = (x - \mu) / \sigma$। फलन $\Phi(z)$ मानक नॉर्मल वक्र के नीचे $z$ के बायीं ओर का क्षेत्रफल देता है, यानी $P(X \le x)$। चूँकि कुल क्षेत्रफल 1 के बराबर होता है, इसलिए दायाँ टेल सीधे होता है:

$$P(X > x) = 1 - \Phi\!\left( \frac{\text{Value }(x) - \text{Mean }(\mu)}{\text{Std Dev }(\sigma)} \right)$$

यह कैलकुलेटर $\Phi$ का मूल्यांकन एक उच्च-परिशुद्धता वाले एरर-फंक्शन सन्निकटन (Abramowitz & Stegun 7.1.26) से करता है, जो लगभग 7 दशमलव स्थानों तक सटीक है।

सामान्य वितरण का घंटी-वक्र, मान x पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा और छायांकित दाएँ-पुच्छ क्षेत्र के साथ — $P(X > x)$ सामान्य वक्र के नीचे $x$ से आगे का छायांकित दाएँ-पुच्छ क्षेत्रफल है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए वयस्कों की लंबाई नॉर्मल रूप से वितरित है, जिसमें $\mu = 170$ सेमी और $\sigma = 10$ सेमी है, और आप $P(\text{लंबाई} > 185)$ जानना चाहते हैं। तब $z$ होगा:

$$z = \frac{185 - 170}{10} = 1.5$$

मानक नॉर्मल तालिका से $\Phi(1.5) \approx 0.93319$, इसलिए:

$$P(X > 185) = 1 - 0.93319 \approx 0.06681$$

यानी लगभग 6.68%।

मानक सामान्य वक्र जो x को z-स्कोर में बदलते हुए और दाएँ पुच्छ को छायांकित दिखाता है — मान $x$ को z-स्कोर में बदला जाता है, और दाएँ-पुच्छ क्षेत्रफल से प्रायिकता मिलती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर मुझे इसके बजाय $P(X < x)$ चाहिए तो? वह बायाँ टेल है, जो परिणाम तालिका में $P(X \le x) = \Phi(z)$ के रूप में दिखता है। किसी सतत डिस्ट्रिब्यूशन के लिए $P(X < x)$, $P(X \le x)$ के बराबर ही होता है।

$\sigma$ धनात्मक क्यों होना चाहिए? मानक विचलन फैलाव को मापता है और इसे शून्य से बड़ा होना चाहिए; शून्य या उससे कम मान का कोई वैध नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन नहीं होता।

परिणाम कितना सटीक है? $\Phi$ का सन्निकटन लगभग सात दशमलव स्थानों तक सटीक है, जो सामान्य सांख्यिकीय कार्य के लिए ज़रूरत से कहीं ज़्यादा है।

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