सामान्य वितरण अंतराल प्रायिकता कैलकुलेटर (दो बिंदु)

गणना दर्ज करें

प्रतिशतक बिंदु x1

प्रतिशतक बिंदु x2

Mean μ

Standard deviation σ

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Outer Region Probability

   

   Probability X falls outside the interval, the complement of the inner probability

2. Density at a Point

   

   Probability density function value of the normal distribution at point x

परिणाम

Inner cumulative probability P(x1 ≤ X ≤ x2)

0.682689

68.27% of the area

Outer cumulative probability P(X < x1) + P(X > x2)	0.317311 (31.73%)
x1 पर प्रायिकता घनत्व f(x1)	0.241971
x2 पर प्रायिकता घनत्व f(x2)	0.241971

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल एक सामान्य (गॉसियन) वितरण N(μ, σ²) पर काम करता है, जिसे उसके माध्य μ और मानक विचलन σ से परिभाषित किया जाता है। दो बिंदु x1 और x2 देने पर यह चार मान लौटाता है: प्रत्येक बिंदु पर प्रायिकता घनत्व f(x1) और f(x2), भीतरी संचयी प्रायिकता \( P(\text{x}_1 \le X \le \text{x}_2) \) (दोनों बिंदुओं के बीच का क्षेत्रफल), और दोनों पुच्छों (tails) में बाहरी संचयी प्रायिकता, जो 1 में से भीतरी क्षेत्रफल घटाने के बराबर होती है। यह एक शुद्ध-गणितीय सांख्यिकी टूल है — इसमें कोई क्षेत्रीय नियम नहीं हैं और यह हर जगह समान रूप से लागू होता है।

इसका उपयोग कैसे करें

दोनों बिंदु x1 और x2 दर्ज करें (कैलकुलेटर स्वयं ही छोटे मान को निचली सीमा मान लेता है), फिर माध्य μ और मानक विचलन σ डालें। डिफ़ॉल्ट मान μ=0 और σ=1 से मानक सामान्य वितरण (standard normal distribution) बनता है, जहाँ x के मान सीधे z-स्कोर होते हैं। मानक विचलन शून्य से बड़ा होना ज़रूरी है।

सूत्र की व्याख्या

हर बिंदु को z-स्कोर में बदला जाता है: \( z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \)। घनत्व के लिए सूत्र है

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$

संचयी क्षेत्रफल मानक सामान्य CDF \( \Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right) \) से निकाला जाता है; चूँकि Java में erf अंतर्निर्मित नहीं है, इसलिए Abramowitz & Stegun 7.1.26 सन्निकटन (शुद्धता लगभग 1e-7) का उपयोग किया जाता है। भीतरी प्रायिकता \( \Phi(z_2) - \Phi(z_1) \) होती है और बाहरी प्रायिकता उसमें से 1 घटाकर मिलती है।

विज्ञापन

आंतरिक प्रायिकता x₁ और x₂ के बीच घंटी वक्र के नीचे का छायांकित क्षेत्र है।

हल किया हुआ उदाहरण

मानक सामान्य वितरण, x1 = −1, x2 = 1, μ = 0, σ = 1। घनत्व

$$f(-1) = f(1) = 0.398942 \times e^{-0.5} = 0.241971$$

\( \Phi(1) = 0.841345 \) और \( \Phi(-1) = 0.158655 \), अतः भीतरी प्रायिकता

$$0.841345 - 0.158655 = 0.682690$$

(लगभग 68.27%, यानी जाना-पहचाना ±1σ नियम) और बाहरी प्रायिकता = 0.317310 (लगभग 31.73%)।

बाहरी प्रायिकता x₁ और x₂ के बाहर दोनों पुच्छों का संयुक्त क्षेत्र है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर मैं x1 को x2 से बड़ा दर्ज कर दूँ तो क्या होगा? दोनों मानों को अंदर ही अंदर आपस में बदल लिया जाता है, ताकि भीतरी क्षेत्र हमेशा छोटे और बड़े मान के बीच का अंतराल ही रहे।

μ=0, σ=1 का क्या मतलब है? यह मानक सामान्य वितरण है, इसलिए आपके x के मान सीधे z-स्कोर के रूप में पढ़े जाते हैं।

f(x) कभी-कभी 1 से ज़्यादा क्यों आता है? प्रायिकता घनत्व कोई प्रायिकता नहीं है; छोटे σ के लिए शिखर की ऊँचाई 1 से अधिक हो सकती है, फिर भी कुल क्षेत्रफल 1 के बराबर ही रहता है।