यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल यह गणना करता है कि नॉर्मल वितरण वाला कोई यादृच्छिक चर X दो मानों a और b के बीच आने की प्रायिकता कितनी है — जिसे \(P(a < X < b)\) लिखा जाता है। आपको बस वितरण का माध्य (μ), मानक विचलन (σ) और दोनों सीमा-मान देने होते हैं। कैलकुलेटर हर सीमा को z-स्कोर में बदलता है और मानक नॉर्मल संचयी वितरण फलन (CDF) Φ का उपयोग करके बेल कर्व के नीचे उन दोनों के बीच का सटीक क्षेत्रफल लौटाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने वितरण का माध्य और मानक विचलन दर्ज करें, फिर निचला मान a और ऊपरी मान b टाइप करें। 'कैलकुलेट करें' दबाएं। परिणाम में प्रायिकता दशमलव रूप में (0 से 1 तक) और प्रतिशत में दिखाई देगी, साथ ही दोनों z-स्कोर भी। अगर आप मान उलटे क्रम में डाल देते हैं, तो कैलकुलेटर अपने आप छोटे मान को a और बड़े मान को b मान लेता है।
फॉर्मूला समझें
a और b के बीच की प्रायिकता, b पर CDF में से a पर CDF घटाने के बराबर होती है:
$$P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$यहां \((x-\mu)/\sigma\) किसी कच्चे स्कोर को z-स्कोर में बदलता है — यानी वह मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है। \(\Phi(z)\) मानक नॉर्मल कर्व के नीचे z के बाईं ओर का संचयी क्षेत्रफल देता है। दोनों संचयी क्षेत्रफलों को घटाने पर ठीक a और b के बीच का क्षेत्रफल बच जाता है। यह कैलकुलेटर Φ की गणना एक उच्च-सटीकता वाले एरर-फंक्शन सन्निकटन से करता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए IQ स्कोर नॉर्मल वितरण के अनुसार हैं, जहां \(\mu = 100\) और \(\sigma = 15\), और आप \(P(85 < X < 115)\) जानना चाहते हैं। z-स्कोर होंगे
$$\frac{85-100}{15} = -1 \qquad \frac{115-100}{15} = +1$$\(\Phi(1) \approx 0.8413\) और \(\Phi(-1) \approx 0.1587\), इसलिए प्रायिकता
$$\approx 0.8413 - 0.1587 = 0.6827$$यानी लगभग 68.3% — यही जाना-पहचाना 'एक मानक विचलन' नियम है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या < और ≤ में फर्क पड़ता है? नहीं। सतत (continuous) नॉर्मल वितरण में किसी एक बिंदु पर प्रायिकता शून्य होती है, इसलिए \(P(a < X < b)\) और \(P(a \le X \le b)\) बिल्कुल एक जैसे होते हैं।
अगर मेरा मानक विचलन 0 हो तो? मानक विचलन हमेशा धनात्मक होना चाहिए; \(\sigma = 0\) होने पर वितरण परिभाषित नहीं होता, इसलिए कैलकुलेटर 0 लौटाता है।
परिणाम कितना सटीक है? CDF की गणना Abramowitz और Stegun सन्निकटन से की जाती है, जो लगभग 7 दशमलव स्थानों तक सटीक है — सामान्य सांख्यिकी कार्य के लिए यह बहुत है।
