Công cụ này làm gì
Công cụ giúp bạn tính xác suất để một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn rơi vào khoảng giữa hai giá trị a và b — ký hiệu là \(P(a < X < b)\). Bạn chỉ cần nhập giá trị trung bình (\(\mu\)), độ lệch chuẩn (\(\sigma\)) và hai giá trị biên. Công cụ sẽ chuẩn hóa từng giá trị biên thành điểm z, sau đó dùng hàm phân phối tích lũy chuẩn \(\Phi\) để trả về chính xác phần diện tích dưới đường cong hình chuông nằm giữa hai biên đó.
Cách sử dụng
Nhập giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối, rồi điền giá trị cận dưới a và cận trên b. Nhấn nút tính toán. Kết quả hiển thị xác suất dưới dạng số thập phân (từ 0 đến 1) và dưới dạng phần trăm, kèm theo hai điểm z tương ứng. Nếu bạn nhập hai giá trị ngược thứ tự, công cụ sẽ tự động lấy số nhỏ hơn làm a và số lớn hơn làm b.
Giải thích công thức
Xác suất giữa a và b bằng giá trị CDF tại b trừ đi giá trị CDF tại a:
$$P(a < X < b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$Biểu thức \(\frac{x-\mu}{\sigma}\) chuyển một giá trị gốc thành điểm z — tức là số lần độ lệch chuẩn so với trung bình. \(\Phi(z)\) cho biết phần diện tích tích lũy nằm bên trái z dưới đường cong chuẩn tắc. Khi lấy hiệu của hai diện tích tích lũy này, ta thu được phần diện tích nằm hoàn toàn giữa a và b. Công cụ tính \(\Phi\) bằng một phép xấp xỉ hàm sai số có độ chính xác cao.
Ví dụ minh họa
Giả sử chỉ số IQ tuân theo phân phối chuẩn với \(\mu = 100\) và \(\sigma = 15\), và bạn muốn tính \(P(85 < X < 115)\). Các điểm z là
$$\frac{85-100}{15} = -1 \quad\text{và}\quad \frac{115-100}{15} = +1$$Ta có \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\) và \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\), nên xác suất
$$\approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827$$tức khoảng 68,3% — đúng theo quy tắc "một độ lệch chuẩn" quen thuộc.
Câu hỏi thường gặp
Dùng dấu < hay ≤ có khác nhau không? Không. Với phân phối chuẩn liên tục, xác suất tại bất kỳ một điểm đơn lẻ nào đều bằng 0, nên \(P(a < X < b)\) và \(P(a \le X \le b)\) cho kết quả như nhau.
Nếu độ lệch chuẩn bằng 0 thì sao? Độ lệch chuẩn bắt buộc phải là số dương; khi \(\sigma = 0\) thì phân phối không xác định, nên công cụ sẽ trả về 0.
Kết quả chính xác đến đâu? Hàm CDF được tính theo phép xấp xỉ Abramowitz & Stegun, chính xác đến khoảng 7 chữ số thập phân — quá đủ cho hầu hết các bài toán thống kê thông thường.
