这个计算器能做什么
这款工具用来计算服从正态分布的随机变量 X 落在两个数值 a 与 b 之间的概率，记作 \(P(a < X < b)\)。你只需提供分布的均值（\(\mu\)）、标准差（\(\sigma\)）以及两个边界值，计算器会把每个边界标准化为 z 分数，再借助标准正态累积分布函数 \(\Phi\)，精确求出钟形曲线在这两点之间所覆盖的面积。
使用方法
先填入分布的均值和标准差，再输入下界 a 和上界 b，点击「计算」即可。结果会以小数（0 到 1）和百分比两种形式给出概率，并同时显示两个边界对应的 z 分数。即便你把数值的大小顺序写反了也没关系——计算器会自动把较小值当作 a，较大值当作 b。
公式解析
a 到 b 之间的概率等于 b 处的累积分布值减去 a 处的累积分布值：
$$P(a < X < b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$其中 \((x-\mu)/\sigma\) 把原始数值换算成 z 分数，也就是该值距离均值有多少个标准差。\(\Phi(z)\) 表示标准正态曲线下 z 左侧的累积面积。两个累积面积相减，剩下的正好是严格介于 a 与 b 之间的面积。本计算器采用高精度的误差函数近似来求 \(\Phi\)。
实例演算
假设智商分数服从均值 \(\mu = 100\)、标准差 \(\sigma = 15\) 的正态分布，想求 \(P(85 < X < 115)\)。两个 z 分数分别为 \((85-100)/15 = -1\) 和 \((115-100)/15 = +1\)。由 \(\Phi(1) \approx 0.8413\)、\(\Phi(-1) \approx 0.1587\)，可得概率约为 $$0.8413 - 0.1587 = 0.6827$$ 也就是约 68.3%——这正是我们常说的「一个标准差范围」经验法则。
常见问题
用 \(<\) 还是 \(\le\) 会影响结果吗？不会。对于连续型正态分布，任何单个点的概率都为零，因此 \(P(a < X < b)\) 与 \(P(a \le X \le b)\) 完全相同。
如果标准差是 0 怎么办？标准差必须为正数；当 \(\sigma = 0\) 时分布无定义，此时计算器会返回 0。
结果有多精确？累积分布函数采用 Abramowitz & Stegun 近似算法，精度约达 7 位小数，对于一般统计计算而言绰绰有余。
