Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la probabilidad de que una variable aleatoria X con distribución normal se encuentre entre dos valores, a y b, lo que se expresa como \(P(a < X < b)\). Solo tienes que indicar la media de la distribución (\(\mu\)), la desviación típica (\(\sigma\)) y los dos valores límite. La calculadora tipifica cada límite en una puntuación z y emplea la función de distribución acumulada de la normal estándar \(\Phi\) para devolver el área exacta bajo la campana de Gauss comprendida entre ambos.
Cómo utilizarla
Introduce la media y la desviación típica de tu distribución y, a continuación, escribe el valor inferior a y el valor superior b. Pulsa calcular. El resultado muestra la probabilidad como número decimal (de 0 a 1) y como porcentaje, junto con las dos puntuaciones z. Si introduces los valores en orden inverso, la calculadora toma automáticamente el menor como a y el mayor como b.
La fórmula explicada
La probabilidad entre a y b es igual a la función de distribución acumulada (FDA) en b menos la FDA en a:
$$P(a < X < b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$El término \(\frac{x-\mu}{\sigma}\) transforma una puntuación bruta en una puntuación z, es decir, el número de desviaciones típicas respecto a la media. \(\Phi(z)\) proporciona el área acumulada a la izquierda de z bajo la curva normal estándar. Al restar ambas áreas acumuladas, queda únicamente el área comprendida estrictamente entre a y b. Esta calculadora evalúa \(\Phi\) mediante una aproximación de alta precisión basada en la función error.
Ejemplo resuelto
Imagina que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con \(\mu = 100\) y \(\sigma = 15\), y quieres calcular \(P(85 < X < 115)\). Las puntuaciones z son
$$\frac{85-100}{15} = -1 \qquad \frac{115-100}{15} = +1$$Como \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\) y \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\), la probabilidad resulta
$$\approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827$$es decir, alrededor del 68,3 %: la conocida regla de una desviación típica.
Preguntas frecuentes
¿Importa si uso < o ≤? No. En una distribución normal continua, la probabilidad en cualquier punto concreto es cero, de modo que \(P(a < X < b)\) y \(P(a \le X \le b)\) son idénticas.
¿Qué ocurre si mi desviación típica es 0? La desviación típica debe ser positiva; con \(\sigma = 0\) la distribución no está definida, por lo que la calculadora devuelve 0.
¿Cómo de precisos son los resultados? La FDA se calcula con la aproximación de Abramowitz y Stegun, con una precisión de unos 7 decimales: más que suficiente para el trabajo estadístico habitual.
