Qué hace esta calculadora
Esta herramienta trabaja con una distribución normal (gaussiana) \(N(\mu, \sigma^2)\) definida por su media \(\mu\) y su desviación típica \(\sigma\). A partir de dos puntos \(x_1\) y \(x_2\) devuelve cuatro valores: la densidad de probabilidad \(f(x_1)\) y \(f(x_2)\) en cada punto, la probabilidad acumulada interior \(P(x_1 \le X \le x_2)\) (el área comprendida entre ambos puntos) y la probabilidad acumulada exterior de las dos colas, que es igual a 1 menos el área interior. Es una herramienta estadística puramente matemática, sin reglas regionales, y resulta válida en cualquier lugar.
Cómo utilizarla
Introduce los dos puntos \(x_1\) y \(x_2\) (la calculadora toma automáticamente el menor como límite inferior) y, a continuación, la media \(\mu\) y la desviación típica \(\sigma\). Los valores por defecto \(\mu=0\) y \(\sigma=1\) corresponden a la distribución normal estándar, en la que los valores de x son directamente puntuaciones z. La desviación típica debe ser mayor que cero.
La fórmula explicada
Cada punto se transforma en una puntuación z mediante \(z = (x - \mu) / \sigma\). La densidad se obtiene con $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ El área acumulada emplea la función de distribución (CDF) de la normal estándar \(\Phi(z) = 0{,}5\left(1 + \operatorname{erf}\left(z/\sqrt{2}\right)\right)\); como Java no incluye una función erf nativa, se utiliza la aproximación 7.1.26 de Abramowitz y Stegun (precisión de ~1e-7). La probabilidad interior es \(\Phi(z_2) - \Phi(z_1)\) y la probabilidad exterior es 1 menos ese valor. La fórmula completa es:
$$\begin{gathered} P(\,\text{x}_1 \le X \le \text{x}_2\,) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} z_1 &= \dfrac{\text{x}_1 - \mu}{\sigma} \\ z_2 &= \dfrac{\text{x}_2 - \mu}{\sigma} \\ \Phi(z) &= \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Normal estándar, \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\). Densidades $$f(-1) = f(1) = 0{,}398942 \times e^{-0{,}5} = 0{,}241971$$ \(\Phi(1) = 0{,}841345\) y \(\Phi(-1) = 0{,}158655\), de modo que la probabilidad interior es $$0{,}841345 - 0{,}158655 = 0{,}682690$$ (alrededor del 68,27 %, la conocida regla de \(\pm1\sigma\)) y la probabilidad exterior es 0,317310 (en torno al 31,73 %).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si introduzco x1 mayor que x2? Los dos valores se intercambian internamente, de manera que la región interior es siempre el intervalo entre el menor y el mayor.
¿Qué significa \(\mu=0\), \(\sigma=1\)? Es la distribución normal estándar, así que tus valores de x se leen directamente como puntuaciones z.
¿Por qué a veces f(x) supera 1? Una densidad de probabilidad no es una probabilidad; cuando \(\sigma\) es pequeña, la altura del pico puede superar 1 aunque el área total siga siendo igual a 1.
