À quoi sert ce calculateur
Cet outil s'appuie sur une loi normale (ou gaussienne) \(N(\mu, \sigma^2)\), définie par sa moyenne \(\mu\) et son écart-type \(\sigma\). À partir de deux points \(x_1\) et \(x_2\), il renvoie quatre valeurs : la densité de probabilité \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\) en chaque point, la probabilité cumulée interne \(P(x_1 \le X \le x_2)\) (l'aire comprise entre les deux points) et la probabilité cumulée externe dans les deux queues de la distribution, soit 1 moins l'aire interne. Il s'agit d'un outil statistique purement mathématique, sans règle régionale : il est valable partout.
Comment l'utiliser
Saisissez les deux points \(x_1\) et \(x_2\) (le calculateur utilise automatiquement le plus petit comme borne inférieure), puis la moyenne \(\mu\) et l'écart-type \(\sigma\). Les valeurs par défaut \(\mu=0\) et \(\sigma=1\) correspondent à la loi normale centrée réduite, où les valeurs de x sont tout simplement des scores z. L'écart-type doit être strictement positif.
La formule expliquée
Chaque point est converti en un score z grâce à \(z = (x - \mu) / \sigma\). La densité repose sur $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ L'aire cumulée utilise la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite \(\Phi(z) = 0{,}5(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\). Comme Java ne dispose pas de fonction erf intégrée, on emploie l'approximation 7.1.26 d'Abramowitz & Stegun (précision d'environ 1e-7). La probabilité interne vaut $$P(\,\text{x}_1 \le X \le \text{x}_2\,) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)$$ et la probabilité externe est égale à 1 moins ce résultat.
Exemple concret
Loi normale centrée réduite, avec \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\), \(\mu = 0\) et \(\sigma = 1\). Les densités donnent $$f(-1) = f(1) = 0{,}398942 \times e^{-0{,}5} = 0{,}241971$$ On a \(\Phi(1) = 0{,}841345\) et \(\Phi(-1) = 0{,}158655\) ; la probabilité interne est donc $$0{,}841345 - 0{,}158655 = 0{,}682690$$ (soit environ 68,27 %, la fameuse règle des \(\pm 1\sigma\)) et la probabilité externe vaut 0,317310 (environ 31,73 %).
FAQ
Que se passe-t-il si je saisis x1 supérieur à x2 ? Les deux valeurs sont permutées en interne, de sorte que la région interne corresponde toujours à l'intervalle entre la plus petite et la plus grande valeur.
Que signifie \(\mu=0\), \(\sigma=1\) ? C'est la loi normale centrée réduite : vos valeurs de x se lisent alors directement comme des scores z.
Pourquoi f(x) dépasse-t-elle parfois 1 ? Une densité de probabilité n'est pas une probabilité ; pour un petit \(\sigma\), la hauteur du pic peut dépasser 1 alors que l'aire totale reste égale à 1.
