Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, ortalaması \(\mu\) ve standart sapması \(\sigma\) ile tanımlanan normal (Gauss) dağılımı \(N(\mu, \sigma^2)\) üzerinde çalışır. İki nokta (x1 ve x2) verdiğinizde size dört değer döndürür: her noktadaki olasılık yoğunlukları \(f(x_1)\) ve \(f(x_2)\), iki nokta arasındaki alanı temsil eden iç kümülatif olasılık \(P(x_1 \le X \le x_2)\) ve iki kuyruktaki dış kümülatif olasılık, yani iç alanın 1'den çıkarılmasıyla bulunan değer. Tamamen matematiksel bir istatistik aracıdır; herhangi bir bölgesel kurala bağlı değildir ve her yerde kullanılabilir.
Nasıl kullanılır?
İki noktayı (x1 ve x2) girin (hesaplayıcı küçük olanı otomatik olarak alt sınır kabul eder), ardından ortalama \(\mu\) ve standart sapma \(\sigma\) değerlerini yazın. Varsayılan değerler \(\mu=0\) ve \(\sigma=1\) olduğunda standart normal dağılımı elde edersiniz; bu durumda x değerleri doğrudan z-skoru olarak okunur. Standart sapma sıfırdan büyük olmalıdır.
Formülün açıklaması
Her nokta önce bir z-skoruna dönüştürülür:
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$Yoğunluk için şu formül kullanılır:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$Kümülatif alan ise standart normal birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) \(\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)\) ile bulunur; Java'da hazır bir erf fonksiyonu bulunmadığından Abramowitz & Stegun 7.1.26 yaklaşımı (yaklaşık 1e-7 doğrulukta) kullanılır. İç olasılık \(\Phi(z_2) - \Phi(z_1)\), dış olasılık ise bunun 1'den çıkarılmasıdır.
Örnek hesaplama
Standart normal dağılım, \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\). Yoğunluklar:
$$f(-1) = f(1) = 0{,}398942 \times e^{-0{,}5} = 0{,}241971$$\(\Phi(1) = 0{,}841345\) ve \(\Phi(-1) = 0{,}158655\) olduğundan iç olasılık \(0{,}841345 - 0{,}158655 = 0{,}682690\) (yaklaşık %68,27; bilinen \(\pm 1\sigma\) kuralı) ve dış olasılık \(0{,}317310\) (yaklaşık %31,73) olur.
Sıkça sorulan sorular
x1 değerini x2'den büyük girersem ne olur? İki değer içeride otomatik olarak yer değiştirir; böylece iç bölge her zaman küçük ile büyük değer arasındaki aralık olur.
\(\mu=0\), \(\sigma=1\) ne anlama gelir? Bu standart normal dağılımdır; dolayısıyla x değerleriniz doğrudan z-skoru olarak okunur.
f(x) bazen neden 1'den büyük çıkıyor? Olasılık yoğunluğu bir olasılık değildir; küçük \(\sigma\) değerlerinde tepe yüksekliği 1'i aşabilir, ancak toplam alan yine de 1'e eşittir.
