حاسبة احتمال الفترة في التوزيع الطبيعي N(μ, σ²)

أدخل الحساب

صيغة رياضية

Show calculation steps (2)

Outer Region Probability

Probability X falls outside the interval, the complement of the inner probability
Density at a Point

Probability density function value of the normal distribution at point x

نتائج

Inner cumulative probability P(x1 ≤ X ≤ x2)

٠٫٦٨٢٦٨٩

٦٨٫٢٧% of the area

Outer cumulative probability P(X < x1) + P(X > x2)	٠٫٣١٧٣١١ (٣١٫٧٣%)
الكثافة الاحتمالية عند x1 f(x1)	٠٫٢٤١٩٧١
الكثافة الاحتمالية عند x2 f(x2)	٠٫٢٤١٩٧١

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تتعامل هذه الأداة مع التوزيع الطبيعي (الغاوسي) $N(\mu, \sigma^2)$ المُعرَّف بمتوسطه $\mu$ وانحرافه المعياري $\sigma$. عند إدخال نقطتين $x_1$ و$x_2$، تُرجِع الأداة أربعة أرقام: الكثافة الاحتمالية $f(x_1)$ و$f(x_2)$ عند كل نقطة، والاحتمال التراكمي الداخلي $P(x_1 \le X \le x_2)$ (أي المساحة المحصورة بين النقطتين)، والاحتمال التراكمي الخارجي في الذيلين، وهو يساوي 1 ناقص المساحة الداخلية. إنها أداة إحصائية رياضية بحتة لا تخضع لأي قواعد إقليمية، وتصلح للاستخدام في أي مكان.

طريقة الاستخدام

أدخل النقطتين $x_1$ و$x_2$ (تستخدم الحاسبة تلقائيًا الأصغر منهما كحدٍّ أدنى)، ثم المتوسط $\mu$ والانحراف المعياري $\sigma$. تمنحك القيم الافتراضية $\mu=0$ و$\sigma=1$ التوزيع الطبيعي المعياري، حيث تكون قيم $x$ ببساطة درجات معيارية (z-scores). يجب أن يكون الانحراف المعياري أكبر من الصفر.

شرح المعادلة

تُحوَّل كل نقطة إلى درجة معيارية $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$. وتُحسب الكثافة عبر

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$

أما المساحة التراكمية فتعتمد على دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري $\Phi(z) = 0.5\left(1 + \operatorname{erf}\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$؛ ولأن لغة Java لا تحتوي على دالة erf مدمجة، يُستخدم تقريب أبراموويتز وستيغون 7.1.26 (بدقة تقارب 1e-7). الاحتمال الداخلي هو $\Phi(z_2) - \Phi(z_1)$، والاحتمال الخارجي هو 1 ناقص هذه القيمة.

$$P(\,\text{x}_1 \le X \le \text{x}_2\,) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)$$

اعلان

منحنى جرسي للتوزيع الطبيعي مع تظليل المساحة بين الخطين العموديين x1 و x2 — الاحتمال الداخلي هو المساحة المظللة تحت المنحنى الجرسي بين x₁ و x₂.

مثال محلول

توزيع طبيعي معياري، $x_1 = -1$، $x_2 = 1$، $\mu = 0$، $\sigma = 1$. الكثافات

$$f(-1) = f(1) = 0.398942 \times e^{-0.5} = 0.241971$$

وتكون $\Phi(1) = 0.841345$ و$\Phi(-1) = 0.158655$، إذن الاحتمال الداخلي هو

$$0.841345 - 0.158655 = 0.682690$$

(نحو 68.27%، وهي قاعدة $\pm 1\sigma$ المعروفة)، والاحتمال الخارجي هو 0.317310 (نحو 31.73%).

منحنى جرسي مع تظليل منطقتي الذيلين الخارجيتين، في تباين مع المنطقة الداخلية — الاحتمال الخارجي هو مجموع مساحة الذيلين خارج x₁ و x₂.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا أدخلت $x_1$ أكبر من $x_2$؟ تُبدَّل القيمتان داخليًا بحيث تكون المنطقة الداخلية دائمًا هي الفترة المحصورة بين القيمة الأصغر والأكبر.

ماذا تعني القيم $\mu=0$ و$\sigma=1$؟ هذا هو التوزيع الطبيعي المعياري، أي أن قيم $x$ تُقرأ مباشرةً كدرجات معيارية (z-scores).

لماذا تتجاوز $f(x)$ القيمة 1 أحيانًا؟ الكثافة الاحتمالية ليست احتمالًا؛ فعند القيم الصغيرة لـ $\sigma$ قد يتجاوز ارتفاع القمة الرقم 1 بينما تبقى المساحة الكلية مساوية لـ 1.

الآلات الحاسبة ذات الصلة