정규분포 구간 확률 계산기 (두 점 사이 확률)

공식

Show calculation steps (2)

Outer Region Probability

Probability X falls outside the interval, the complement of the inner probability
Density at a Point

Probability density function value of the normal distribution at point x

결과

Inner cumulative probability P(x1 ≤ X ≤ x2)

0.682689

68.27% of the area

Outer cumulative probability P(X < x1) + P(X > x2)	0.317311 (31.73%)
x1에서의 확률밀도 f(x1)	0.241971
x2에서의 확률밀도 f(x2)	0.241971

이 계산기가 하는 일

이 도구는 평균 $\mu$와 표준편차 $\sigma$로 정의되는 정규분포(가우스 분포) $N(\mu, \sigma^2)$를 다룹니다. 두 점 x1, x2를 입력하면 네 가지 값을 돌려줍니다. 각 점에서의 확률밀도 $f(x_1)$과 $f(x_2)$, 두 점 사이의 넓이인 안쪽 누적 확률 $P(x_1 \le X \le x_2)$, 그리고 양쪽 꼬리에 해당하는 바깥쪽 누적 확률(= 1에서 안쪽 넓이를 뺀 값)입니다. 특정 국가의 규칙이 전혀 없는 순수 수학 통계 도구이므로 어디서나 그대로 적용됩니다.

사용 방법

두 점 x1과 x2를 입력하세요(계산기가 더 작은 값을 자동으로 아래쪽 경계로 사용합니다). 그다음 평균 $\mu$와 표준편차 $\sigma$를 넣습니다. 기본값인 $\mu=0$, $\sigma=1$은 표준정규분포를 뜻하며, 이때 x 값은 곧 z 점수가 됩니다. 표준편차 $\sigma$는 반드시 0보다 커야 합니다.

공식 살펴보기

각 점은 z 점수 $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$로 변환됩니다. 확률밀도는 다음을 사용합니다.

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$

누적 넓이는 표준정규분포의 누적분포함수(CDF) $\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)$로 구합니다. Java에는 erf 함수가 내장되어 있지 않으므로, Abramowitz & Stegun 7.1.26 근사식(정확도 약 1e-7)을 사용합니다. 안쪽 확률은 $\Phi(z_2) - \Phi(z_1)$이고, 바깥쪽 확률은 거기서 1을 뺀 값입니다.

$$P(\,\text{x}_1 \le X \le \text{x}_2\,) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)$$