이 계산기의 기능
이 도구는 정규분포의 백분위수(분위수 또는 임계값이라고도 함)를 계산합니다. 누적확률을 입력하면, 요청한 만큼의 확률이 그 아래(또는 위)에 놓이도록 하는 분포 축 위의 값 x를 돌려줍니다. 즉 정규 누적분포함수(CDF)의 역함수에 해당합니다. 평균을 0, 표준편차를 1로 두면 우리에게 익숙한 표준정규분포의 z값이 나옵니다. 이는 어디에서나 동일하게 적용되는 보편적인 순수 수학입니다.
사용 방법
먼저 누적 방식을 고릅니다. 확률이 좌측 꼬리 면적 \(P(X \le x)\)에 해당하면 하측 누적 P를, 우측 꼬리 면적 \(P(X > x)\)에 해당하면 상측 누적 Q를 선택하세요. 확률은 반드시 0과 1 사이의 값으로 입력합니다. 그다음 분포의 평균과 표준편차를 입력하세요(표준정규분포라면 각각 0과 1을 사용합니다). 결과로는 백분위수 x와 그에 대응하는 표준화 z점수가 함께 표시됩니다.
공식 설명
\(\Phi\)를 표준정규 CDF라고 합시다. 먼저 입력값을 하측 꼬리 확률로 변환합니다. 하측 방식이면 \(p_{lower} = P\), 상측 방식이면 \(p_{lower} = 1 - Q\)입니다. 이어서 역정규 CDF(프로빗)를 적용합니다. $$z = \Phi^{-1}\!\left(p_{lower}\right)$$ 마지막으로 표준화를 되돌립니다. $$x = \mu + \sigma \cdot z$$ 본 계산기는 Acklam의 유리함수 근사식에 뉴턴 보정 단계를 더해 약 \(1e{-9}\) 수준의 정확도를 얻습니다.
계산 예시
상측 방식, \(Q = 0.025\), \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\)인 경우입니다. 변환: $$p_{lower} = 1 - 0.025 = 0.975$$ 분위수: $$z = \Phi^{-1}\!\left(0.975\right) \approx 1.959964$$ 표준화 복원: $$x = 100 + 15 \times 1.959964 \approx 129.40$$ 따라서 분포의 약 2.5%가 129.4보다 큰 값을 갖습니다.
자주 묻는 질문
왜 z와 x가 같아질 때가 있나요? 표준정규분포(\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\))인 경우에만 \(x = z\)가 됩니다.
p = 0.5일 때는 어떻게 되나요? 하측 방식에서는 \(z = 0\)이므로 분위수가 정확히 평균과 같아집니다.
0이나 1을 입력할 수 있나요? 안 됩니다. 분위수는 0에서 \(-\infty\), 1에서 \(+\infty\)로 발산하므로, 확률은 반드시 0과 1 사이의 값이어야 하고 \(\sigma\)는 0보다 커야 합니다.
