표준정규분포 백분위수 계산기란?
이 도구는 표준정규분포 N(0,1)의 백분위점(백분위수, 분위수 또는 역 CDF z값이라고도 합니다)을 계산합니다. 누적확률을 입력하면, 종 모양 곡선의 가로축에서 해당 면적을 잘라 주는 z값을 돌려줍니다. 이는 누적분포함수(CDF)의 역함수로, 보통 \(z = \Phi^{-1}(p)\)로 표기합니다.
사용 방법
먼저 확률을 어떻게 해석할지 선택하세요. 하단 누적확률 P(z의 왼쪽 면적), 상단 누적확률 Q(z의 오른쪽 면적), 또는 양측 중심 확률(−z와 +z 사이의 대칭 중심 면적) 중 하나를 고릅니다. 그다음 0과 1 사이의 확률값을 입력하면 됩니다. 계산기는 입력값을 하나의 하단 꼬리 확률로 변환한 뒤, 그에 대응하는 z를 반환합니다.
공식
표준정규분포의 확률밀도함수는 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-x^2/2}\)이고, 누적분포함수는 \(\Phi(x)\)입니다. 이를 역으로 풀면, 하단 모드에서는 \(p_{\text{lower}} = p\), 상단 모드에서는 \(p_{\text{lower}} = 1 - p\), 중심 모드에서는 \(z \ge 0\) 조건으로 \(p_{\text{lower}} = \frac{1 + p}{2}\)가 됩니다. 그런 다음 $$z = \Phi^{-1}(p_{\text{lower}})$$를 Acklam의 고정밀 유리함수 근사(상대오차 약 1e−9)로 계산합니다.
계산 예시
하단 모드에서 p = 0.975이면 $$z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964$$로, 95% 신뢰구간에서 익숙하게 쓰이는 1.96이 나옵니다. 중심 모드에서 p = 0.95를 넣어도 동일하게 1.96이 나오므로, 95% 중심 구간은 \([-1.96, +1.96]\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 p는 반드시 0과 1 사이여야 하나요? p = 0 또는 p = 1일 때는 z값이 각각 \(-\infty\) 또는 \(+\infty\)가 되므로, 이 값들은 허용되지 않습니다.
상단 모드와 하단 모드는 어떤 관계인가요? 같은 확률에 대해 상단 모드의 z는 하단 모드 z의 부호를 바꾼 값과 같습니다. 즉 \(\Phi^{-1}(1-p) = -\Phi^{-1}(p)\)입니다.
결과는 정확한가요? 닫힌 형태의 해는 존재하지 않지만, Acklam의 근사는 유효숫자 약 9자리까지 정확하여 화면에 표시하는 데 필요한 수준을 훨씬 뛰어넘습니다.
