什麼是標準常態百分位數計算器？
這個工具用來計算標準常態分配 N(0,1) 的百分點（也稱為百分位數、分位數，或反向 CDF 的 z 值）。只要輸入一個累積機率，它就會回傳鐘形曲線橫軸上、能切出該面積的 z 值。它正是累積分配函數（CDF）的反函數，數學上常寫成 \(z = \Phi^{-1}(p)\)。
使用方式
首先選擇你的機率該如何解讀：左尾累積機率 P（z 左側的面積）、右尾累積機率 Q（z 右側的面積），或雙尾中央區間（介於 \(-z\) 與 \(+z\) 之間、對稱於中心的面積）。接著輸入一個嚴格介於 0 與 1 之間的機率。計算器會把你的輸入轉換成單一的左尾機率，再回傳對應的 z 值。
計算公式
標準常態分配的機率密度函數為 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2}\)，其累積分配函數記為 \(\Phi(x)\)。我們要做的是反向求解：在左尾模式下 \(p_{\text{lower}} = p\)；右尾模式下 \(p_{\text{lower}} = 1 - p\)；雙尾中央模式下 \(p_{\text{lower}} = \frac{1 + p}{2}\) 且 \(z \ge 0\)。最後以 Acklam 的高精度有理逼近法計算 $$z = \Phi^{-1}\!\left(p_{\text{lower}}\right)$$ 相對誤差約為 \(1\text{e}{-9}\)。
範例演算
採用左尾模式並輸入 \(p = 0.975\)，可得 $$z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964$$ —— 也就是 95% 信賴區間中常見的 1.96。若改用雙尾中央模式輸入 \(p = 0.95\)，同樣會得到 1.96，因此 95% 的中央區間為 \([-1.96, +1.96]\)。
常見問題
為什麼 p 必須介於 0 與 1 之間？當 \(p = 0\) 或 \(p = 1\) 時，z 值會是 \(-\infty\) 或 \(+\infty\)，因此這兩個邊界值不被接受。
右尾與左尾模式有什麼關係？對相同的機率而言，右尾模式的 z 值等於左尾模式 z 值的相反數：\(\Phi^{-1}(1-p) = -\Phi^{-1}(p)\)。
結果是精確值嗎？反向 CDF 沒有封閉形式的解，但 Acklam 逼近法可達約九位有效數字的精度，遠超過一般顯示所需。
