什麼是非中心 F 分布？
非中心 F 分布是在一般（中心）F 分布的基礎上，加入非中心參數 \(\lambda\) 後的推廣形式。它可視為一個非中心卡方變數（除以其自由度 \(\nu_1\)）與一個獨立的中心卡方變數（除以 \(\nu_2\)）兩者比值的分布。這個分布在統計檢定力分析中扮演關鍵角色：當虛無假設不成立時，變異數分析（ANOVA）或迴歸 F 檢定的統計量便會服從非中心 F 分布，而 \(\lambda\) 正好衡量真實效果偏離虛無假設的程度。當 \(\lambda = 0\) 時，整個分布便會退化為我們熟悉的中心 F 分布。
計算器使用說明
首先選擇要計算的對象：機率密度 \(f\)、下累積機率 \(P\)（即累積分布函數 CDF，\(x\) 左側的面積），或上累積機率 \(Q = 1 - P\)（\(x\) 右側的面積）。接著輸入分子自由度 \(\nu_1\)、分母自由度 \(\nu_2\)，以及非中心參數 \(\lambda\)。然後透過初始值、增量（步長）與重複次數，設定一系列 \(x\) 值；本工具會在 \(x = \text{初始值} + i \times \text{步長}\)（\(i = 0\) 到 次數\(-1\)）的各點計算所選函數，並將結果整理成表格。
公式解析
機率密度是以卜瓦松（Poisson）權重對多個中心 F 密度取加權平均。每個權重為 $$w_j = \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}$$ 也就是平均數為 \(\lambda/2\) 的卜瓦松分布中發生 \(j\) 次事件的機率。第 \(j\) 項是自由度為 \((\nu_1 + 2j,\ \nu_2)\) 的中心 F 密度，可用 Beta 函數 \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) 表示。計算累積機率時，則把每一項密度換成對應的中心 F 累積分布函數，其值等於正則化不完全 Beta 函數 \(I_z\!\left(\tfrac{\nu_j}{2},\ \tfrac{\nu_2}{2}\right)\)，並在 \(z = \frac{\nu_j\,x}{\nu_2 + \nu_j\,x}\) 處求值。
實例演算
取 \(\nu_1 = 3\)、\(\nu_2 = 2\)、\(\lambda = 0\)（中心情形），求 \(x = 1\) 時的 \(P\)。此時 $$z = \frac{3\times 1}{2 + 3\times 1} = 0.6$$ 因此 \(P = I_{0.6}(1.5,\ 1.0)\)。由於 \(I_z(a,1) = z^a\)，所以結果為 $$0.6^{1.5} = 0.464758$$ 即 \(P\) 約為 \(0.4648\)，而 \(Q\) 約為 \(0.5352\)。若加入非中心參數 \(\lambda = 1\)，機率質量會往較大的 \(x\) 移動，使下累積機率降低至約 \(P = 0.451\)。
常見問題
當 \(\lambda = 0\) 時會發生什麼事？結果恰好就是中心 F 分布，因為此時只有 \(j = 0\) 這一項帶有權重。
為什麼密度在 \(x = 0\) 時為零？當 \(\nu_1 \geq 2\) 時，密度在 \(x = 0\) 處為 \(0\)；當 \(\nu_1 < 2\) 時，密度會在 \(x\) 趨近 \(0\) 時發散至無限大，因此在 \(x = 0\) 取值並沒有意義。
級數計算的精確度如何？卜瓦松權重會持續累加，直到累積質量基本上等於 \(1\) 為止；不完全 Beta 函數則以連分數搭配對數 Gamma（log-gamma）函數求值以維持數值穩定，因此在常見的輸入範圍內都能達到高精確度。
