Black-Scholes 歐式買權定價計算器

d1	0.368226
d2	0.21309
N(d1)	0.643648
N(d2)	0.584372

什麼是 Black-Scholes 買權計算器？

這個工具運用 Black-Scholes（Black-Scholes-Merton）模型，為「無配發股利」標的資產的歐式買權（European Call）定價。它屬於通用的金融數學——無論在哪個市場、使用哪種貨幣，公式都完全一致。模型假設無風險利率採連續複利，而到期時間則以「年」為單位表示。

使用方式

請輸入標的資產目前的現貨價 $S$、履約價（執行價）$X$、年化無風險利率 $r$（以每年百分比表示）、到期時間 $T$（以年為單位，例如兩個月＝0.16667），以及年化波動率（標準差）$\sigma$（以每年百分比表示）。計算器會回傳理論買權權利金，並附上中間計算項 $d_1$、$d_2$、$N(d_1)$ 與 $N(d_2)$。

公式說明

先將 $r$ 與 $\sigma$ 由百分比換算為小數：

$$d_1 = \frac{\ln(S/X) + \left(r + \sigma^2/2\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$$$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$$$C = S\,N(d_1) - X\,e^{-rT}\,N(d_2)$$

其中 $N(\cdot)$ 為標準常態累積分配函數，以 $N(x) = 0.5\left(1 + \operatorname{erf}\left(x/\sqrt{2}\right)\right)$ 計算，並採用有理函數近似 $\operatorname{erf}$，精度約達 $1\mathrm{e}{-7}$。

標註 N(d1) 與 N(d2) 累積陰影面積的標準常態鐘形曲線 — $N(d_1)$ 與 $N(d_2)$ 是公式中所用標準常態曲線下的累積機率。

布萊克-休斯買權收益與現貨價格關係圖 — 買權權利金曲線位於折線收益線上方，反映到期前的時間價值。

實例演算

假設 $S = 14500$、$X = 14000$、$r = 6\%$、$T = 2/12 = 0.16667$ 年、$\sigma = 38\%$。則 $\sigma\sqrt{T} = 0.15513$，$\ln(S/X) = 0.035091$，$d_1 = 0.36823$，$d_2 = 0.21310$，$N(d_1) = 0.6437$，$N(d_2) = 0.5844$，$e^{-rT} = 0.99005$。買權價格

$$C = 14500 \times 0.6437 - 14000 \times 0.99005 \times 0.5844 \approx 1233.1$$

個貨幣單位。

定義與詞彙表

現貨價格 $S$: 標的資產的當前市場價格。
執行價格 $X$: 持有人可以在到期時購買標的資產的固定價格。
無風險利率 $r$: 期權存續期間無風險投資的連續複利年利率，在公式中以小數表示。
到期時間 $T$: 距離到期日的剩餘時間，以年為單位測量（例如六個月 = 0.5）。
波動率 $\sigma$: 標的資產連續複利收益的年化標準差，以小數表示。
$d_1$: 標準化項 $d_1=\dfrac{\ln(S/X)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$；$N(d_1)$ 是買權的 delta（權利金對現貨的敏感度）。
$d_2$: 定義為 $d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$。
$N(d_1)$、$N(d_2)$: 標準常態累積分佈函數在 $d_1$ 和 $d_2$ 處的值，各介於 0 和 1 之間。
歐式買權: 賦予持有人權利（但非義務）在執行價格購買標的資產的期權，僅在到期時可行使（不能提前行使）。
權利金 $C$: 買權的理論公允價值（價格），是公式的輸出。
內在價值: 立即行使時的價值，買權為 $\max(S-X,0)$。
時間價值: 權利金中超過內在價值的部分，反映到期前進一步有利變動的機會：$C-\max(S-X,0)$。