什麼是 Black-Scholes 計算器？
Black-Scholes 模型是現代選擇權定價的基石。它在假設標的不發放股利的前提下，估算歐式買權與賣權（僅能在到期日履約的選擇權）的理論合理價值。這個計算器只需五項輸入，就能立即算出買權價格、賣權價格，以及中間因子 \(d_1\) 與 \(d_2\)。
如何使用
請輸入標的資產目前的現貨價格（S）、選擇權的履約價（K）、以年為單位的到期時間（例如 0.5 代表六個月）、年化的無風險利率（以百分比表示），以及年化的波動率（同樣以百分比表示）。計算器會在內部自動把百分比換算成小數，並一次算出買權與賣權兩種價格。
公式解析
模型會先計算兩個標準化的數值：
$$d_1 = \dfrac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)\cdot T}{\sigma\cdot\sqrt{T}}$$
$$d_2 = d_1 - \sigma\cdot\sqrt{T}$$
接著買權價值為 $$C = S\cdot N(d_1) - K\cdot e^{-rT}\cdot N(d_2)$$其中 \(N(\cdot)\) 為標準常態累積分布函數。賣權價值則由買賣權平價關係（put-call parity）導出：$$P = K\cdot e^{-rT}\cdot N(-d_2) - S\cdot N(-d_1)$$式中 \(e^{-rT}\) 將履約價折現回現值，而 \(N(d_1)\)、\(N(d_2)\) 代表與選擇權到期時處於價內（in the money）相關的風險調整機率。
實際範例
假設 \(S = 100\)、\(K = 100\)、\(T = 1\) 年、\(r = 5\%\)、\(\sigma = 20\%\)。則 \(\sigma\sqrt{T} = 0.20\)，$$d_1 = \frac{0 + (0.05 + 0.02)}{0.20} = 0.35$$\(d_2 = 0.15\)。代入 \(N(0.35) \approx 0.6368\)、\(N(0.15) \approx 0.5596\)，買權價格約為 $$100\cdot 0.6368 - 95.123\cdot 0.5596 \approx 10.45$$賣權價格則約為 \(5.57\)。
標準常態分佈 N(d) 參考表
Black-Scholes 公式需要 \(N(d_1)\) 和 \(N(d_2)\)，即累積標準常態分佈函數——標準常態隨機變數小於或等於 \(d\) 的機率。下表列出 \(N(d)\) 從 \(-3.0\) 到 \(3.0\) 的值，增量為 \(0.1\)。
| d | N(d) | d | N(d) |
|---|---|---|---|
| -3.0 | 0.0013 | 0.1 | 0.5398 |
| -2.9 | 0.0019 | 0.2 | 0.5793 |
| -2.8 | 0.0026 | 0.3 | 0.6179 |
| -2.7 | 0.0035 | 0.4 | 0.6554 |
| -2.6 | 0.0047 | 0.5 | 0.6915 |
| -2.5 | 0.0062 | 0.6 | 0.7257 |
| -2.4 | 0.0082 | 0.7 | 0.7580 |
| -2.3 | 0.0107 | 0.8 | 0.7881 |
| -2.2 | 0.0139 | 0.9 | 0.8159 |
| -2.1 | 0.0179 | 1.0 | 0.8413 |
| -2.0 | 0.0228 | 1.1 | 0.8643 |
| -1.9 | 0.0287 | 1.2 | 0.8849 |
| -1.8 | 0.0359 | 1.3 | 0.9032 |
| -1.7 | 0.0446 | 1.4 | 0.9192 |
| -1.6 | 0.0548 | 1.5 | 0.9332 |
| -1.5 | 0.0668 | 1.6 | 0.9452 |
| -1.4 | 0.0808 | 1.7 | 0.9554 |
| -1.3 | 0.0968 | 1.8 | 0.9641 |
| -1.2 | 0.1151 | 1.9 | 0.9713 |
| -1.1 | 0.1357 | 2.0 | 0.9772 |
| -1.0 | 0.1587 | 2.1 | 0.9821 |
| -0.9 | 0.1841 | 2.2 | 0.9861 |
| -0.8 | 0.2119 | 2.3 | 0.9893 |
| -0.7 | 0.2420 | 2.4 | 0.9918 |
| -0.6 | 0.2743 | 2.5 | 0.9938 |
| -0.5 | 0.3085 | 2.6 | 0.9953 |
| -0.4 | 0.3446 | 2.7 | 0.9965 |
| -0.3 | 0.3821 | 2.8 | 0.9974 |
| -0.2 | 0.4207 | 2.9 | 0.9981 |
| -0.1 | 0.4602 | 3.0 | 0.9987 |
| 0.0 | 0.5000 |
對稱性注意：標準常態分佈在零處對稱，所以 \(N(-d) = 1 - N(d)\)。例如，\(N(-1.0) = 1 - N(1.0) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)。這讓你可以從表的正值部分讀出任何負引數。
關鍵術語與變數
- 現貨價格 (S)
- 標的資產的當前市場價格，以貨幣單位每股表示（例如美元）。這是評估期權的起點。
- 執行價格 (K)
- 期權持有人可在到期時買入（看漲）或賣出（看跌）標的資產的固定價格，單位與 S 相同。
- 到期時間 (T)
- 期權的剩餘有效期，以年表示（例如 6 個月 = 0.5，90 天 ≈ 0.2466）。Black-Scholes 對只能在到期時行使的歐式期權進行定價。
- 無風險利率 (r)
- 期權有效期內無風險投資的連續複利年利率，以小數表示（5% = 0.05）。在計算器中以百分比輸入，然後除以 100。
- 波動率 (σ)
- 標的資產連續複利收益率的年化標準差，以小數表示（20% = 0.20）。波動率越高，看漲期權和看跌期權的價值都越高。
- d1
- 一個無量綱的中間項，\(d_1 = \dfrac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\)。它用於 \(N(d_1)\) 項的計算，並等於看漲期權的 delta。
- d2
- \(d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}\)，也是無量綱的。\(N(d_2)\) 是看漲期權在到期時價內的風險中性機率。
- N(d) — 累積常態
- 累積標準常態分佈函數：標準常態變數最多為 \(d\) 的機率。它返回 0 到 1 之間的值（一個機率，無量綱）。
- 折現因子 (e-rT)
- 將到期時支付的執行價格折現至今日的現值因子，使用連續複利無風險利率。無量綱，介於 0 到 1 之間。
輸入如何影響價格
下面的基礎情景固定四個輸入，一次改變其中一個，以便每個區塊只隔離一個驅動因素。基礎情景：現貨 \(S = 100\)，執行價格 \(K = 100\)（平價），時間 \(T = 1\) 年，無風險利率 \(r = 5\%\)，波動率 \(\sigma = 20\%\)。在這些值下，看漲期權的價值約為 10.45，看跌期權約為 5.57。
| 改變的變數 | 值 | 看漲期權價格 | 看跌期權價格 |
|---|---|---|---|
| 波動率 σ | 10% | 6.80 | 1.92 |
| 20%（基礎） | 10.45 | 5.57 | |
| 40% | 18.02 | 13.14 | |
| 到期時間 T | 0.25 年 | 4.61 | 3.37 |
| 1 年（基礎） | 10.45 | 5.57 | |
| 2 年 | 16.13 | 6.61 | |
| 價內外情況（現貨 S） | 90（價外看漲） | 5.09 | 10.21 |
| 100（平價，基礎） | 10.45 | 5.57 | |
| 110（價內看漲） | 17.66 | 2.78 |
值得注意的模式：波動率越高，看漲期權和看跌期權的價值都越高，因為更大的離散度增加了可選上升空間的價值，而下行空間被限制在零。時間越長，看漲期權通常會上漲（有更多機會在到期時價內，加上執行價格有更大折現）；看跌期權的時間價值也會上升，但時間敏感性較弱，因為執行價格的折現會對其產生不利影響。提高現貨價格會增加看漲期權並降低看跌期權。所有數字都使用相同的模型和舍入；與實時計算結果的微小差異可能源於中間舍入。
常見問題
這個計算器有考慮股利嗎？沒有——這是不含股利的基本模型。若標的會配發股利，可將現貨價減去股利的現值，或改用 Black-Scholes-Merton 延伸模型。
適用歐式還是美式選擇權？Black-Scholes 計算的是歐式選擇權。美式選擇權（允許提前履約）需用二項式模型或其他數值方法計算；不過對於不配發股利的股票，美式買權的價值與歐式買權相同。
為什麼輸入要用百分比？利率與波動率以百分比輸入是為了方便（例如 20 代表 20%），計算器會自動將其除以 100。
