Pochhammer 符號（上升階乘）計算器

輸入計算

x（底數，任意實數）

n (number of factors, integer ≥ 0)

結果

Pochhammer Symbol (x)_n

151,200

rising factorial of x = -10 with n = 6

底數 x	-10
個數 n	6
定義	(x)n = x(x+1)...(x+n-1)

什麼是 Pochhammer 符號？

Pochhammer 符號又稱為上升階乘，記為 \((x)_n\)，代表從 x 開始、連續 n 個遞增因子相乘的乘積：$$(x)_n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1).$$它是一般階乘的推廣，因為 \((1)_n = n!\)，並廣泛出現在組合數學、超幾何級數與特殊函數理論之中。本計算器可針對任意實數底數 \(x\) 與任意非負整數 \(n\)，求出 \((x)_n\) 的值。

波赫哈默符號將 n 個連續因子相乘，每個都比前一個大。

如何使用本計算器

輸入底數 x（可為負數、小數或零），以及因子個數 n（0 或以上的整數），按下計算即可得到上升階乘的結果。依照空乘積慣例，對任意 \(x\) 都有 \((x)_0 = 1\)，而 \((x)_1 = x\)。若 \(x\) 為非正整數，且其中某個因子剛好落在 0 上，則乘積會恰好等於 0。

公式解析

乘積形式是將 \(x\) 乘以 \(x+1\)，再乘以 \(x+2\)，依此類推一直到 \(x+n-1\)，共計 \(n\) 個項。它也可以用 Gamma 函數表示為 $$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.$$本計算器採用直接連乘的方式，對整數 \(n\) 完全精確，可避免 Gamma 函數溢位，並能在任一因子為零時正確回傳 0。

上升階乘等於兩個伽瑪函數值之比。

計算範例

以預設值 \(x = -10\)、\(n = 6\) 為例：\((-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)\)。逐步相乘可得 \(-10 \times -9 = 90\)，\(90 \times -8 = -720\)，\(-720 \times -7 = 5040\)，\(5040 \times -6 = -30240\)，最後 \(-30240 \times -5 = 151200\)。因此 $$(-10)_6 = 151200.$$

常見問題

\((x)_0\) 等於多少？依照空乘積慣例，無論 \(x\) 為何，結果永遠都是 1。

x 可以是負數或小數嗎？可以。連乘法適用於任意實數 \(x\)；例如 \((5)_3 = 5 \times 6 \times 7 = 210\)，而非正整數的底數則可能產生 0。

為什麼輸入很大的數值時精度會下降？上升階乘增長極為快速，因此 \(|x|\) 或 \(n\) 過大時可能超出標準浮點數的表示範圍，進而出現捨入誤差或溢位。