Pochhammer sembolü nedir?
Pochhammer sembolü, diğer adıyla yükselen faktöriyel, \((x)_{n}\) biçiminde yazılır ve x değerinden başlayan, ardışık olarak artan n adet çarpanın çarpımını ifade eder: $$(x)_{n} = x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1).$$ Sıradan faktöriyelin bir genellemesidir; çünkü \((1)_{n} = n!\) eşitliği geçerlidir. Kombinatorik, hipergeometrik seriler ve özel fonksiyonlar teorisinde sıkça karşımıza çıkar. Bu hesaplayıcı, herhangi bir gerçek taban \(x\) ve negatif olmayan tam sayı \(n\) için \((x)_{n}\) değerini hesaplar.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Taban değeri x'i girin (negatif, ondalıklı ya da sıfır olabilir) ve çarpan sayısı n'i belirtin (0 veya daha büyük bir tam sayı). Yükselen faktöriyel değerini görmek için hesapla düğmesine basın. Boş çarpım kuralı gereği her x için \((x)_{0} = 1\) ve \((x)_{1} = x\) olur. Eğer x pozitif olmayan bir tam sayıysa ve çarpanlardan biri tam olarak sıfıra denk gelirse, sonuç da tam olarak 0 çıkar.
Formülün açıklaması
Çarpım biçiminde x değeri sırasıyla x+1, x+2 ile çarpılır ve bu işlem x+n-1'e kadar, toplam n terim boyunca sürer. Buna denk olarak Gama fonksiyonuyla şöyle de yazılabilir: $$(x)_{n} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.$$ Bu hesaplayıcı doğrudan çarpım yöntemini kullanır; bu yöntem tam sayı n için kesin sonuç verir, Gama fonksiyonu taşmalarını önler ve herhangi bir çarpan sıfır olduğunda doğru biçimde 0 döndürür.
Çözümlü örnek
Varsayılan değerler \(x = -10\) ve \(n = 6\) ile: $$(-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5).$$ Adım adım çarptığımızda \(-10 \times -9 = 90\), \(90 \times -8 = -720\), \(-720 \times -7 = 5040\), \(5040 \times -6 = -30240\) ve \(-30240 \times -5 = 151200\) sonucuna ulaşırız. Yani $$(-10)_{6} = 151200.$$
Sıkça sorulan sorular
\((x)_{0}\) kaça eşittir? Boş çarpım kuralı gereği, x'in değeri ne olursa olsun her zaman 1'dir.
x negatif veya kesirli olabilir mi? Evet. Çarpım her gerçek x değerini işleyebilir; örneğin \((5)_{3} = 5 \times 6 \times 7 = 210\) olur, pozitif olmayan bir tam sayı taban ise sıfır sonucu üretebilir.
Büyük girdilerde neden hassasiyet kaybı yaşanır? Yükselen faktöriyel son derece hızlı büyür; bu nedenle çok büyük \(|x|\) veya \(n\) değerleri standart kayan nokta aritmetiğinin sınırlarını aşarak yuvarlama veya taşma hatalarına yol açabilir.
