Ký hiệu Pochhammer là gì?
Ký hiệu Pochhammer, hay còn gọi là giai thừa tăng, được viết là \((x)_{n}\) và biểu thị tích của n thừa số liên tiếp tăng dần bắt đầu từ x: $$(x)_{n} = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1).$$ Đây là dạng tổng quát hóa của giai thừa thông thường, bởi vì \((1)_{n} = n!\). Ký hiệu này xuất hiện rộng rãi trong tổ hợp, chuỗi siêu hình học (hypergeometric) và lý thuyết các hàm đặc biệt. Công cụ này tính \((x)_{n}\) với mọi cơ số thực \(x\) và mọi số nguyên không âm \(n\).
Cách dùng máy tính
Nhập giá trị cơ số x (có thể là số âm, phân số hoặc bằng 0) và số lượng thừa số n (một số nguyên lớn hơn hoặc bằng 0). Nhấn nút tính để nhận kết quả giai thừa tăng. Theo quy ước tích rỗng, \((x)_{0} = 1\) với mọi \(x\), và \((x)_{1} = x\). Nếu x là một số nguyên không dương và có một thừa số rơi đúng vào giá trị 0, thì tích sẽ bằng đúng 0.
Giải thích công thức
Dạng tích nhân x với x+1, rồi x+2, và cứ thế tiếp tục cho đến x+n-1 — tổng cộng n thừa số. Một cách tương đương, có thể viết bằng hàm Gamma: $$(x)_{n} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.$$ Máy tính này dùng phép nhân trực tiếp, vốn cho kết quả chính xác với n nguyên, tránh được hiện tượng tràn số của hàm Gamma, và trả về đúng giá trị 0 mỗi khi có một thừa số bằng không.
Ví dụ minh họa
Với giá trị mặc định x = -10 và n = 6: \((-10)(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)\). Nhân từng bước ta được \(-10 \times -9 = 90\), \(90 \times -8 = -720\), \(-720 \times -7 = 5040\), \(5040 \times -6 = -30240\), và \(-30240 \times -5 = 151200\). Vậy $$(-10)_{6} = 151200.$$
Câu hỏi thường gặp
\((x)_{0}\) bằng bao nhiêu? Luôn bằng 1, theo quy ước tích rỗng, bất kể x là số nào.
x có thể là số âm hoặc phân số không? Có. Phép tích áp dụng cho mọi giá trị thực x; ví dụ \((5)_{3} = 5 \times 6 \times 7 = 210\), còn cơ số là số nguyên không dương có thể cho kết quả bằng 0.
Vì sao giá trị đầu vào lớn lại bị mất độ chính xác? Giai thừa tăng tăng cực kỳ nhanh, nên \(|x|\) hoặc \(n\) quá lớn có thể vượt quá phạm vi của số học dấu phẩy động tiêu chuẩn, dẫn đến làm tròn hoặc tràn số.
