Số Bernoulli là gì?
Số Bernoulli \(B_n\) là một dãy các số hữu tỉ xuất hiện rất nhiều trong lý thuyết số và giải tích. Chúng được định nghĩa là các hệ số trong khai triển Maclaurin của hàm sinh \(\frac{x}{e^x - 1}\). Bạn sẽ bắt gặp số Bernoulli trong công thức tính tổng lũy thừa của các số nguyên, trong công thức Euler-Maclaurin, trong giá trị của hàm zeta Riemann tại các số nguyên chẵn, cũng như trong chuỗi Taylor của hàm tang và cotang.
Cách sử dụng máy tính
Bạn hãy nhập chỉ số n là một số nguyên không âm (0, 1, 2, 3, ...) và chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Máy tính sẽ trả về giá trị hữu tỉ chính xác dưới dạng phân số \(p/q\) (ví dụ \(B_{12} = -691/2730\)) kèm theo giá trị thập phân đã làm tròn. Lưu ý rằng cài đặt số chữ số có nghĩa chỉ ảnh hưởng đến phần hiển thị thập phân; phân số luôn luôn chính xác tuyệt đối.
Quy ước được sử dụng
Công cụ này dùng quy ước \(B_1 = -\frac{1}{2}\), tương ứng với hàm sinh \(\frac{x}{e^x - 1}\). Quy ước "dấu cộng" thay thế đặt \(B_1 = +\frac{1}{2}\) và dùng hàm \(\frac{x}{1 - e^{-x}}\); hai quy ước này chỉ khác nhau ở dấu của \(B_1\). Tất cả các số Bernoulli còn lại đều giống hệt nhau trong cả hai quy ước, và mọi giá trị có chỉ số lẻ lớn hơn \(B_1\) đều bằng đúng 0.
Giải thích công thức
Để tránh sai số làm tròn của số dấu phẩy động (chẳng hạn \(B_2\) ra 0,16666... khiến \(6\cdot B_2\) bị cắt thành 0), máy tính sử dụng phép tính hữu tỉ chính xác. Công cụ áp dụng công thức truy hồi \(B_0 = 1\) và
$$B_{\text{n}} = -\frac{1}{\text{n}+1}\sum_{k=0}^{\text{n}-1}\binom{\text{n}+1}{k}\,B_{k}$$trong đó \(\binom{m+1}{k}\) là hệ số nhị thức. Mỗi \(B_k\) được giữ dưới dạng cặp tử số/mẫu số đã tối giản, nên kết quả hoàn toàn chính xác về mặt toán học trước khi được chuyển thành số thập phân.
Ví dụ minh họa (n = 4)
Bắt đầu từ \(B_0 = 1\), \(B_1 = -\frac{1}{2}\), \(B_2 = \frac{1}{6}\) và \(B_3 = 0\), công thức truy hồi cho ta
$$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0{,}0333333\ldots$$Bạn có thể đối chiếu với bảng giá trị đã biết: \(B_6 = \frac{1}{42}\), \(B_8 = -\frac{1}{30}\), \(B_{10} = \frac{5}{66}\), \(B_{12} = -\frac{691}{2730}\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao các số Bernoulli chỉ số lẻ bằng 0? Ngoại trừ \(B_1\), mọi số Bernoulli có chỉ số lẻ \(B_{2n+1}\) đều bằng 0 nhờ tính đối xứng của hàm sinh.
Vì sao các giá trị chỉ số chẵn lớn lại tăng nhanh đến vậy? Độ lớn tăng rất nhanh; ví dụ \(|B_{50}|\) vào khoảng \(7{,}5\times10^{24}\). Phân số chính xác xử lý được những con số này mà không bị tràn số.
Ở đây \(B_1\) là dương hay âm? Là âm: máy tính này trả về \(B_1 = -\frac{1}{2}\).
