Qu'est-ce qu'un nombre de Bernoulli ?
Les nombres de Bernoulli \(B_n\) forment une suite de nombres rationnels que l'on retrouve un peu partout en théorie des nombres et en analyse. On les définit comme les coefficients du développement de Maclaurin de la fonction génératrice \(\frac{x}{e^x - 1}\). Ils interviennent notamment dans les formules closes des sommes de puissances d'entiers, dans la formule d'Euler-Maclaurin, dans les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs, ainsi que dans les développements en série de Taylor de la tangente et de la cotangente.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez un indice \(n\) entier positif ou nul (0, 1, 2, 3, …) et choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher. Le calculateur renvoie la valeur rationnelle exacte sous la forme d'une fraction \(\frac{p}{q}\) (par exemple \(B_{12} = -\frac{691}{2730}\)), accompagnée d'une décimale arrondie. Le réglage du nombre de chiffres significatifs n'agit que sur l'affichage décimal : la fraction reste toujours exacte.
Convention employée
Cet outil adopte la convention \(B_1 = -\frac{1}{2}\), qui correspond à la fonction génératrice \(\frac{x}{e^x - 1}\). L'autre convention, dite « plus », pose \(B_1 = +\frac{1}{2}\) et repose sur \(\frac{x}{1 - e^{-x}}\) ; les deux ne diffèrent que par le signe de \(B_1\). Tous les autres nombres de Bernoulli sont identiques dans les deux conventions, et toute valeur d'indice impair au-delà de \(B_1\) est rigoureusement nulle.
La formule expliquée
Pour éviter les erreurs d'arrondi en virgule flottante (par exemple \(B_2\) donnant \(0{,}16666\ldots\) de sorte que \(6\cdot B_2\) se tronque à 0), ce calculateur s'appuie sur l'arithmétique rationnelle exacte. Il utilise la récurrence $$B_{\text{n}} = -\frac{1}{\text{n}+1}\sum_{k=0}^{\text{n}-1}\binom{\text{n}+1}{k}\,B_{k}$$ $$\text{où}\quad B_{0}=1,\quad B_{m}=0\ \ (m\ \text{impair},\ m\ge 3)$$ où \(\binom{m+1}{k}\) désigne un coefficient binomial. Chaque \(B_k\) est conservé sous la forme d'un couple numérateur/dénominateur réduit, si bien que le résultat est mathématiquement exact avant d'être converti en décimale.
Exemple résolu (n = 4)
En partant de \(B_0 = 1\), \(B_1 = -\frac{1}{2}\), \(B_2 = \frac{1}{6}\) et \(B_3 = 0\), la récurrence donne $$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0{,}0333333\ldots$$ Vous pouvez le vérifier à l'aide de la table connue : \(B_6 = \frac{1}{42}\), \(B_8 = -\frac{1}{30}\), \(B_{10} = \frac{5}{66}\), \(B_{12} = -\frac{691}{2730}\).
FAQ
Pourquoi les nombres de Bernoulli d'indice impair sont-ils nuls ? À l'exception de \(B_1\), tout nombre de Bernoulli d'indice impair \(B_{2n+1}\) est égal à 0, en raison d'une symétrie de la fonction génératrice.
Pourquoi les valeurs d'indice pair élevé deviennent-elles si grandes ? Leur ordre de grandeur croît très vite : par exemple, \(|B_{50}|\) vaut environ \(7{,}5\times10^{24}\). Les fractions exactes les gèrent sans dépassement de capacité.
\(B_1\) est-il positif ou négatif ici ? Négatif : ce calculateur renvoie \(B_1 = -\frac{1}{2}\).
