¿Qué es un número de Bernoulli?

Los números de Bernoulli $B_n$ forman una sucesión de números racionales que aparece por todas partes en la teoría de números y el análisis matemático. Se definen como los coeficientes del desarrollo de Maclaurin de la función generatriz $x/(e^x - 1)$. Surgen en las fórmulas cerradas para sumar potencias de enteros, en la fórmula de Euler-Maclaurin, en los valores de la función zeta de Riemann en los enteros pares y en las series de Taylor de la tangente y la cotangente.

Tabla de los primeros números de Bernoulli mostrados como fracciones exactas — Los primeros números de Bernoulli como fracciones exactas, con los valores de índice impar (por encima de $B_1$) iguales a cero.

Cómo usar esta calculadora

Introduce un índice entero no negativo $n$ (0, 1, 2, 3, …) y elige cuántas cifras significativas quieres que se muestren en el decimal. La calculadora devuelve el valor racional exacto como fracción $p/q$ (por ejemplo, $B_{12} = -691/2730$) junto con un decimal redondeado. El ajuste de cifras significativas solo afecta a la presentación decimal: la fracción siempre es exacta.

Convención utilizada

Esta herramienta emplea la convención $B_1 = -1/2$, que se corresponde con la función generatriz $x/(e^x - 1)$. La convención alternativa «positiva» establece $B_1 = +1/2$ y utiliza $x/(1 - e^{-x})$; ambas solo se diferencian en el signo de $B_1$. Todos los demás números de Bernoulli coinciden en las dos convenciones, y cualquier valor de índice impar más allá de $B_1$ es exactamente cero.

La fórmula explicada

Para evitar los errores de redondeo en coma flotante (por ejemplo, que $B_2$ salga como 0,16666… y que $6\cdot B_2$ se trunque a 0), esta calculadora utiliza aritmética racional exacta. Aplica la recurrencia

$$B_{\text{n}} = -\frac{1}{\text{n}+1}\sum_{k=0}^{\text{n}-1}\binom{\text{n}+1}{k}\,B_{k}$$

con $B_0 = 1$, donde $\binom{m+1}{k}$ es un coeficiente binomial. Cada $B_k$ se mantiene como un par numerador/denominador reducido, de modo que el resultado es matemáticamente exacto antes de convertirse en decimal.

Función generadora de los números de Bernoulli desarrollada en una serie de potencias — La función generadora $x/(e^x-1)$ cuyos coeficientes de la serie de potencias definen los números de Bernoulli $B_n$.

Ejemplo resuelto (n = 4)

Partiendo de $B_0 = 1$, $B_1 = -1/2$, $B_2 = 1/6$ y $B_3 = 0$, la recurrencia da

$$B_4 = -\frac{1}{30} \approx -0{,}0333333\ldots$$

Puedes comprobarlo con la tabla conocida: $B_6 = 1/42$, $B_8 = -1/30$, $B_{10} = 5/66$, $B_{12} = -691/2730$.

Preguntas frecuentes

¿Por qué son cero los números de Bernoulli impares? Salvo $B_1$, todo número de Bernoulli de índice impar $B_{2n+1}$ es igual a 0 debido a una simetría de la función generatriz.

¿Por qué se vuelven tan grandes los valores de índice par elevado? Su magnitud crece muy rápido; por ejemplo, $|B_{50}|$ es de unos $7{,}5\times10^{24}$. Las fracciones exactas manejan estos valores sin desbordamiento.

¿Aquí $B_1$ es positivo o negativo? Negativo: esta calculadora devuelve $B_1 = -1/2$.

Índice n	4
Fracción exacta	-1/30
Decimal (22 sig. digits)	-0.03333333333333333333333

Calculadora de números de Bernoulli (Bₙ)

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