¿Qué es el símbolo de Pochhammer?
El símbolo de Pochhammer \((x)_n\), conocido también como factorial ascendente (y escrito como \(x^{(n)}\) o como x con una raya superior n), es el producto de n enteros consecutivos que empiezan en x. Es una pieza clave en combinatoria, en las funciones especiales y en la teoría de las series hipergeométricas. Esta calculadora emplea la convención ascendente; no se trata del factorial descendente.
Fórmula
Para un entero n ≥ 1,
$$(x)_n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$$un producto de n términos. Por la convención del producto vacío, \((x)_0 = 1\), y \((x)_1 = x\). De forma equivalente,
$$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$Cuando x = 1, el factorial ascendente se reduce al factorial ordinario: \((1)_n = n!\).
Cómo usar la calculadora de tabla
Introduce la base fija x, el primer valor de n, el paso (incremento) con el que n crece de una fila a la siguiente y cuántas filas quieres obtener. La herramienta evalúa \(n = n_{\text{inicial}} + k\cdot\text{paso}\) para \(k = 0, 1, \dots, \text{número de filas}-1\) y muestra cada n junto a su valor del factorial ascendente. Un paso negativo genera una secuencia descendente de n; los valores negativos de n se tratan mediante la extensión por el recíproco.
Ejemplo resuelto
Con x = 5, n inicial = 1, paso 1 y 8 filas obtienes \((5)_1 = 5\), \((5)_2 = 30\), \((5)_3 = 210\), \((5)_4 = 1680\), \((5)_5 = 15120\), \((5)_6 = 151200\), \((5)_7 = 1663200\) y \((5)_8 = 19958400\). Los valores crecen de forma factorial, por lo que su representación gráfica sube de manera muy pronunciada.
Preguntas frecuentes
¿Por qué \((x)_0\) siempre vale 1? Porque es un producto vacío, que por definición es igual a 1, sea cual sea el valor de x.
¿Qué ocurre con valores enteros no positivos de x? El producto simplemente pasa por cero. Por ejemplo \((-3)_5 = (-3)(-2)(-1)(0)(1) = 0\) — ese es el valor correcto, no un error.
¿Pueden desbordarse los valores? Sí. Los factoriales ascendentes crecen muy rápido, así que para valores grandes de n el resultado en doble precisión puede volverse enorme o infinito. Mantén n moderado si quieres cifras exactas.
