Что такое символ Похгаммера?
Символ Похгаммера \((x)_n\), который также называют возрастающим факториалом (и записывают как \(x^{(n)}\) или x с чертой сверху и индексом n), — это произведение n последовательных множителей, начиная с x. Он играет ключевую роль в комбинаторике, теории специальных функций и в гипергеометрических рядах. Наш калькулятор использует именно возрастающую версию; это не убывающий факториал.
Формула
Для целого \(n \ge 1\) справедливо
$$(x)_n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$$— произведение из n множителей. По соглашению о пустом произведении \((x)_0 = 1\), а \((x)_1 = x\). Эквивалентная запись через гамма-функцию:
$$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$При \(x = 1\) возрастающий факториал превращается в обычный факториал: \((1)_n = n!\).
Как пользоваться калькулятором таблицы
Укажите фиксированное основание x, начальное значение n, шаг (приращение), с которым n увеличивается от строки к строке, и нужное количество строк. Калькулятор вычисляет \(n = \text{initialN} + k\cdot\text{stepN}\) для \(k = 0, 1, \dots, \text{rowCount}-1\) и выводит каждое значение n вместе с соответствующим возрастающим факториалом. Отрицательный шаг даёт убывающую последовательность n, а отрицательные n обрабатываются через расширение с обратной величиной.
Разбор примера
При \(x = 5\), начальном \(n = 1\), шаге 1 и 8 строках вы получите \((5)_1 = 5\), \((5)_2 = 30\), \((5)_3 = 210\), \((5)_4 = 1680\), \((5)_5 = 15120\), \((5)_6 = 151200\), \((5)_7 = 1663200\) и \((5)_8 = 19958400\). Значения растут факториально, поэтому на графике кривая поднимается очень круто.
Частые вопросы
Почему \((x)_0\) всегда равно 1? Потому что это пустое произведение, которое по определению равно 1 при любом значении x.
Что происходит при неположительном целом x? Произведение просто проходит через ноль. Например, \((-3)_5 = (-3)(-2)(-1)(0)(1) = 0\) — это и есть правильный результат, а не ошибка.
Возможно ли переполнение? Да. Возрастающие факториалы растут чрезвычайно быстро, поэтому при больших n результат в двойной точности может стать очень большим или бесконечным. Для точных значений держите n в умеренных пределах.
