ポッホハンマー記号とは
ポッホハンマー記号 \((x)_n\) は上昇階乗とも呼ばれ（\(x^{(n)}\) や x の上に横線を引いた記法でも表されます）、x から始まる n 個の連続する数を掛け合わせた積です。組合せ論、特殊関数、超幾何級数の理論において基本的な役割を果たします。本ツールは「上昇（rising）」の規約に基づいて計算します。下降階乗（falling factorial）ではない点にご注意ください。
計算式
整数 \(n \ge 1\) のとき、 $$(x)_n = x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1)$$ で、これは n 個の項の積です。空積の約束により \((x)_0 = 1\) となり、\((x)_1 = x\) です。ガンマ関数を使えば $$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$ とも書けます。x = 1 のとき上昇階乗は通常の階乗に一致し、\((1)_n = n!\) となります。
表計算ツールの使い方
固定する基数 x、n の最初の値、行ごとに n が増える刻み幅（増分）、そして表示する行数を入力します。本ツールは \(k = 0, 1, \dots, \text{行数}-1\) について \(n = \text{初期値} + k\cdot\text{刻み幅}\) を求め、それぞれの n と対応する上昇階乗の値を並べて表示します。刻み幅を負にすると n は減少していく数列になり、負の n は逆数による拡張で処理されます。
計算例
x = 5、n の初期値 1、刻み幅 1、行数 8 とすると、\((5)_1 = 5\)、\((5)_2 = 30\)、\((5)_3 = 210\)、\((5)_4 = 1680\)、\((5)_5 = 15120\)、\((5)_6 = 151200\)、\((5)_7 = 1663200\)、\((5)_8 = 19958400\) が得られます。値は階乗的に増えていくため、グラフは非常に急峻に立ち上がります。
よくある質問
なぜ \((x)_0\) はつねに 1 なのですか？ これは空積であり、x がどんな値であっても定義により 1 になるためです。
x が 0 以下の整数のときはどうなりますか？ 積の途中で 0 を通過するだけです。たとえば \((-3)_5 = (-3)(-2)(-1)(0)(1) = 0\) となり、これはエラーではなく正しい値です。
値がオーバーフローすることはありますか？ あります。上昇階乗は極めて速く増大するため、n が大きいと倍精度浮動小数点での結果が非常に大きな値や無限大になることがあります。正確な数値を得るには n を適度な範囲に抑えてください。
