पोखहैमर फंक्शन (राइज़िंग फैक्टोरियल) टेबल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x (आधार मान)

n का प्रारंभिक मान

n की वृद्धि (स्टेप)

पंक्तियों की संख्या

परिणाम

पहला पोखहैमर मान (x)_n

5

पहली पंक्ति का राइज़िंग फैक्टोरियल

n	(x)_n
1	5
2	30
3	210
4	1,680
5	15,120
6	151,200
7	1,663,200
8	19,958,400

पोखहैमर सिंबल क्या है?

पोखहैमर सिंबल \((x)_n\) को राइज़िंग फैक्टोरियल भी कहा जाता है (इसे \(x^{(n)}\) या x के ऊपर रेखा खींचकर n के रूप में भी लिखा जाता है)। यह x से शुरू होने वाले n क्रमागत संख्याओं का गुणनफल होता है। कॉम्बिनेटोरिक्स, स्पेशल फंक्शंस और हाइपरज्यामितीय श्रेणी (hypergeometric series) के सिद्धांत में इसका मूलभूत महत्व है। यह कैलकुलेटर राइज़िंग (बढ़ते क्रम वाली) परिपाटी का उपयोग करता है — यह फॉलिंग फैक्टोरियल नहीं है।

पॉकहैमर प्रतीक n क्रमागत गुणनखंडों को गुणा करता है, हर अगला पिछले से बड़ा, x से शुरू होकर।

सूत्र

किसी पूर्णांक \(n \ge 1\) के लिए, $$(x)_n = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$$ होता है, जो n पदों का गुणनफल है। रिक्त-गुणनफल (empty product) की परिपाटी के अनुसार \((x)_0 = 1\), और \((x)_1 = x\) होता है। समतुल्य रूप में $$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$$ जब \(x = 1\) हो, तो राइज़िंग फैक्टोरियल सामान्य फैक्टोरियल में बदल जाता है: \((1)_n = n!\)।

बढ़ता क्रमगुणित \(\Gamma(x+n)\) और \(\Gamma(x)\) के अनुपात के बराबर होता है।

टेबल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

निश्चित आधार x दर्ज करें, n का पहला मान, वह स्टेप (वृद्धि) जिससे n हर पंक्ति में बढ़ता है, और आपको कितनी पंक्तियाँ चाहिए। यह टूल \(n = \text{initialN} + k\cdot\text{stepN}\) की गणना करता है (\(k = 0, 1, \dots, \text{rowCount}-1\) के लिए) और हर n के साथ उसका राइज़िंग फैक्टोरियल मान सूचीबद्ध करता है। ऋणात्मक स्टेप देने पर n का क्रम घटता हुआ बनता है; ऋणात्मक n को व्युत्क्रम (reciprocal) विस्तार के ज़रिए संभाला जाता है।

हल किया गया उदाहरण

x = 5, प्रारंभिक n = 1, स्टेप 1 और 8 पंक्तियों के साथ आपको मिलेगा \((5)_1 = 5\), \((5)_2 = 30\), \((5)_3 = 210\), \((5)_4 = 1680\), \((5)_5 = 15120\), \((5)_6 = 151200\), \((5)_7 = 1663200\) और \((5)_8 = 19958400\)। ये मान फैक्टोरियल की तरह बढ़ते हैं, इसलिए इनका ग्राफ बहुत तेज़ी से ऊपर चढ़ता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

\((x)_0\) हमेशा 1 क्यों होता है? क्योंकि यह एक रिक्त गुणनफल है, और परिभाषा के अनुसार यह 1 के बराबर होता है — चाहे x का मान कुछ भी हो।

अऋणेतर पूर्णांक x के लिए क्या होता है? गुणनफल बस शून्य से होकर गुज़रता है। उदाहरण के लिए \((-3)_5 = (-3)(-2)(-1)(0)(1) = 0\) — यही सही मान है, कोई त्रुटि नहीं।

क्या मान ओवरफ़्लो हो सकते हैं? हाँ। राइज़िंग फैक्टोरियल बेहद तेज़ी से बढ़ते हैं, इसलिए बड़े n के लिए डबल-प्रिसिज़न परिणाम बहुत बड़ा या अनंत (infinite) हो सकता है। सटीक आँकड़ों के लिए n को संयमित (moderate) रखें।