Qu'est-ce que le symbole de Pochhammer ?
Le symbole de Pochhammer \((x)_n\), également appelé factorielle croissante (et noté \(x^{(n)}\) ou x surmonté d'un trait n), est le produit de n entiers successifs à partir de x. Il joue un rôle central en combinatoire, dans l'étude des fonctions spéciales et dans la théorie des séries hypergéométriques. Ce calculateur adopte la convention croissante : il ne s'agit pas de la factorielle décroissante.
Formule
Pour un entier \(n \ge 1\), $$(x)_n = x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1),$$ soit un produit de n termes. Par convention du produit vide, \((x)_0 = 1\), et \((x)_1 = x\). De façon équivalente, $$(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.$$ Lorsque x = 1, la factorielle croissante se ramène à la factorielle usuelle : \((1)_n = n!\).
Comment utiliser le calculateur de table
Saisissez la base x fixe, la première valeur de n, le pas (incrément) selon lequel n augmente d'une ligne à l'autre, puis le nombre de lignes souhaité. L'outil évalue \(n = \text{initialN} + k\cdot\text{stepN}\) pour \(k = 0,\,1,\,\dots,\,\text{rowCount}-1\) et affiche chaque n en regard de sa factorielle croissante. Un pas négatif engendre une suite décroissante de n ; les valeurs négatives de n sont prises en charge via le prolongement par l'inverse.
Exemple détaillé
Avec x = 5, n initial = 1, pas 1 et 8 lignes, vous obtenez \((5)_1 = 5\), \((5)_2 = 30\), \((5)_3 = 210\), \((5)_4 = 1680\), \((5)_5 = 15120\), \((5)_6 = 151200\), \((5)_7 = 1663200\) et \((5)_8 = 19958400\). Les valeurs croissent de façon factorielle : la courbe grimpe donc très brusquement.
FAQ
Pourquoi \((x)_0\) vaut-il toujours 1 ? Parce qu'il s'agit d'un produit vide, qui vaut 1 par définition, quelle que soit la valeur de x.
Que se passe-t-il pour un x entier négatif ou nul ? Le produit passe simplement par zéro. Par exemple, $$(-3)_5 = (-3)(-2)(-1)(0)(1) = 0$$ — c'est bien la valeur correcte, et non une erreur.
Les valeurs peuvent-elles déborder ? Oui. Les factorielles croissantes augmentent extrêmement vite : pour de grandes valeurs de n, le résultat en double précision peut devenir très grand, voire infini. Gardez n modéré pour obtenir des chiffres exacts.
