Qu'est-ce que la fonction de Struve ?
La fonction de Struve \(\mathbf{H}_{v}(x)\) est une fonction spéciale qui apparaît comme solution particulière de l'équation de Bessel inhomogène. On la rencontre dans des problèmes d'acoustique, de dynamique des fluides, d'optique et d'électromagnétisme, souvent aux côtés des fonctions de Bessel ordinaires. Ce calculateur dresse la table de \(\mathbf{H}_{v}(x)\) pour tout ordre réel \(v\) sur une suite de valeurs de \(x\) de votre choix, afin que vous puissiez observer son comportement oscillant à décroissance lente. Il s'agit de mathématiques pures, valables partout, sans aucune dépendance régionale ou liée aux unités.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez quatre valeurs : l'Ordre v (l'ordre de la fonction de Struve), la Valeur initiale de x (le premier argument), le Pas (l'écart entre deux valeurs de \(x\) successives) et le Nombre de répétitions (le nombre de lignes à générer). La table affiche alors chaque argument \(x_{i} = \text{startX} + i \times \text{stepX}\) ainsi que la valeur correspondante \(\mathbf{H}_{v}(x_{i})\). Avec les valeurs par défaut (\(v = 0\), début = -10, pas = 0,2, nombre = 101), vous obtenez 101 points balayant \(x\) de -10 à +10.
La formule expliquée
La valeur est évaluée directement à partir de la série entière présentée ci-dessus. $$\mathbf{H}_{v}(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{\Gamma\!\left(k+\frac{3}{2}\right)\,\Gamma\!\left(k+v+\frac{3}{2}\right)}$$ En posant \(t = x/2\), le facteur de tête est \(t^{v+1}\) et chaque terme s'écrit \((-1)^{k} t^{2k}\) divisé par le produit de deux fonctions gamma, \(\Gamma(k + 3/2)\) et \(\Gamma(k + v + 3/2)\). La fonction gamma est calculée à l'aide d'une approximation de Lanczos numériquement stable, en utilisant la formule de réflexion \(\Gamma(z) = \pi / (\sin(\pi z)\, \Gamma(1 - z))\) lorsque son argument est négatif ou nul. La série alternée converge rapidement pour des \(|x|\) modérés.
Exemple résolu
Prenons \(v = 0\) et \(x = 2\), d'où \(t = 1\) et un facteur de tête égal à 1. La sommation de la série donne $$1{,}273240 - 0{,}565884 + 0{,}090542 - 0{,}007391 + 0{,}000365 - \ldots \approx 0{,}79066.$$ On a donc \(\mathbf{H}_{0}(2) \approx 0{,}79066\), ce qui correspond à la valeur de référence usuelle.
FAQ
Que vaut \(\mathbf{H}_{v}(0)\) ? Pour tout ordre \(v > -1\), le facteur de tête \((x/2)^{v+1}\) s'annule en \(x = 0\), donc \(\mathbf{H}_{v}(0) = 0\).
Puis-je utiliser des ordres négatifs ou non entiers ? Oui. Pour des \(x\) négatifs avec un \(v\) non entier, la fonction devient complexe : ces lignes sont alors signalées comme « not-a-number » (NaN). Pour \(v = 0\) ou des ordres entiers, l'ensemble de la table reste réel.
Quelle est sa précision ? La série directe est très précise sur la plage par défaut. Pour de très grandes valeurs de \(|x|\) (au-delà d'environ 30), de nombreux termes sont nécessaires et un développement asymptotique serait préférable.
