À quoi sert le calculateur de probabilités du tomoe-sen ?
Précision sur la règle (Japon / sumo) : le « tomoe-sen » désigne le barrage à trois utilisé dans le grand sumo (ōzumō) pour départager trois lutteurs à égalité en tête du tournoi. Le modèle probabiliste, lui, est universel : il s'applique à tout barrage rotatif entre trois joueurs suivant ces règles. Mais la coutume et la terminologie viennent du sumo japonais. Cet outil calcule la probabilité que chacun des trois lutteurs remporte l'ensemble du barrage.
Comment fonctionne ce format
Trois lutteurs s'affrontent. Le joueur A et le joueur B disputent le premier combat tandis que le joueur C attend son tour « sur le banc ». Le perdant de chaque combat cède sa place, le vainqueur reste sur le dohyō et affronte aussitôt le lutteur en attente. Pour remporter le barrage, il faut gagner deux combats consécutifs. Comme le joueur C en attente doit d'abord gagner un combat avant même de pouvoir enchaîner une paire de victoires, il est structurellement désavantagé, tandis que les deux joueurs symétriques du premier combat, A et B, partagent une probabilité plus élevée et identique.
Comment l'utiliser
Pour obtenir la réponse classique et équitable du sumo, laissez les trois probabilités de victoire par combat à 0,5. Pour étudier un affrontement déséquilibré, saisissez la probabilité de victoire par combat de chaque lutteur (ou son pourcentage). En interne, ces valeurs sont traitées comme des « forces » relatives : dans un combat entre X et Y, $$P(X \text{ bat } Y) = \frac{s_X}{s_X + s_Y}.$$
La formule
On construit une chaîne de Markov sur des états (lutteur détenteur de la série en cours, nouvel adversaire qui arrive frais). Les états absorbants correspondent au moment où un détenteur remporte son deuxième combat d'affilée. La résolution de la récurrence dans le cas équitable 50/50 donne le résultat classique des manuels :
\(P(A) = P(B) = \frac{5}{14} \approx 35{,}71\,\%\), et \(P(C) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 28{,}57\,\%\). Leur somme vaut exactement 1.
Exemple détaillé
Les trois probabilités de combat = 0,5. Le joueur A gagne le combat 1 \(\left(\frac{1}{2}\right)\), puis peut immédiatement décrocher le titre en gagnant de nouveau \(\left(\frac{1}{2}\right)\). En sommant la série géométrique infinie de toutes les façons dont A peut ensuite reprendre la main et compléter une série de deux victoires, on obtient exactement \(\frac{5}{14}\). Par symétrie, B obtient lui aussi \(\frac{5}{14}\), et C obtient $$1 - 2 \times \frac{5}{14} = \frac{4}{14} \approx 28{,}57\,\%.$$
FAQ
Pourquoi le lutteur en attente est-il désavantagé ? A et B peuvent décrocher le titre avec deux victoires consécutives dès le départ ; C doit d'abord battre le vainqueur du premier combat avant même de pouvoir entamer une paire de victoires consécutives.
Le barrage se termine-t-il toujours ? Oui. La probabilité de jouer indéfiniment sans jamais enchaîner deux victoires tend vers 0 : les trois probabilités totalisent donc exactement 1.
Les matchs nuls sont-ils possibles ? Non. Au sumo, les combats de barrage donnent toujours un vainqueur ; chaque combat se solde par une victoire ou une défaite.
