¿Qué es la calculadora de probabilidad del tomoe-sen?
Nota sobre el ámbito (Japón / regla del sumo): el «tomoe-sen» es el formato de desempate a tres luchadores que se emplea en el Gran Sumo (Ōzumō) para resolver un triple empate por el campeonato. El modelo probabilístico es universal —funciona para cualquier desempate rotatorio entre 3 jugadores con estas reglas—, pero la costumbre y la terminología provienen del sumo japonés. Esta herramienta calcula la probabilidad de que cada uno de los tres luchadores acabe ganando el desempate.
Cómo funciona el formato
Compiten tres luchadores. El Jugador A y el Jugador B disputan el primer combate mientras el Jugador C espera su turno «en la banda». El perdedor de cada combate se retira y el ganador permanece para enfrentarse de inmediato al luchador que estaba esperando. Un luchador gana el desempate al encadenar dos combates consecutivos. Como el jugador C que espera debe ganar primero un combate antes de poder siquiera iniciar una racha de dos, parte con desventaja estructural, mientras que los jugadores A y B del primer combate —que están en posición simétrica— comparten una probabilidad más alta e idéntica entre sí.
Cómo usarla
Para obtener la respuesta canónica del sumo en condiciones justas, deja las tres probabilidades de victoria por combate en 0,5. Si quieres analizar un enfrentamiento desigual, introduce la probabilidad de victoria por combate de cada luchador (o su porcentaje). Internamente se interpretan como «fuerzas» relativas: en un combate entre X e Y, \(P(X \text{ gana a } Y) = \frac{s_X}{s_X + s_Y}\).
La fórmula
Se plantea una cadena de Markov sobre estados (quién mantiene la racha actual y qué oponente nuevo entra fresco). Los estados absorbentes son aquellos en los que el luchador que tiene la racha gana su segundo combate seguido. Al resolver la recurrencia en el caso justo de 50/50 se obtiene el resultado clásico de manual:
$$\begin{gathered} P(i \text{ beats } j) = \frac{s_i}{s_i + s_j} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} s_A &= \text{Player A skill} \\ s_B &= \text{Player B skill} \\ s_C &= \text{Player C skill} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$\(P(A) = P(B) = \frac{5}{14} \approx 35{,}71\,\%\), y \(P(C) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 28{,}57\,\%\). La suma da exactamente 1.
Ejemplo resuelto
Las tres probabilidades por combate = 0,5. El Jugador A gana el primer combate (\(\frac{1}{2}\)) y a continuación puede llevarse el título si vuelve a ganar (\(\frac{1}{2}\)). Sumando la serie geométrica infinita que recoge todas las formas en que A puede recuperar y completar después una racha se llega exactamente a \(\frac{5}{14}\). Por simetría, B también obtiene \(\frac{5}{14}\), y a C le corresponde \(1 - 2 \times \frac{5}{14} = \frac{4}{14} \approx 28{,}57\,\%\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué está en desventaja el luchador que espera? A y B pueden ganar el título con dos victorias seguidas desde el primer momento; C tiene que vencer antes al ganador del primer combate para siquiera empezar a encadenar una racha.
¿El desempate siempre termina? Sí: la probabilidad de seguir indefinidamente sin lograr dos victorias consecutivas tiende a 0, por lo que las tres probabilidades suman exactamente 1.
¿Se permiten los empates? No. Los combates de desempate en el sumo siempre tienen un ganador, así que cada combate se resuelve en victoria o derrota.
