巴戦の勝率計算とは？
適用範囲について（日本・大相撲のルール）：「巴戦（ともえせん）」とは、大相撲で3人が優勝で並んだときに行われる優勝決定戦の方式です。確率の計算モデル自体は普遍的なもので、同じルールで回していく3人の決定戦であればどんな競技にも当てはまりますが、この風習や呼び名は日本の相撲に由来します。この計算サイトでは、3人それぞれが巴戦を制して優勝する確率を求めます。
巴戦の進め方
3人が対戦します。まず力士Aと力士Bが最初の取組を行い、力士Cは控えで待機します。各取組で負けた者が引き下がり、勝った者はそのまま残って、控えで待っていた力士とすぐに対戦します。2連勝した時点でその力士が優勝です。控えのCは、まず1番勝たないと連勝のスタートラインにすら立てないため、構造的に不利になります。一方、最初に対戦するAとBは対称的な立場にあり、より高く等しい勝率を分け合います。
使い方
大相撲の典型的な「互角」のケースを知りたいときは、3つの取組勝率をすべて0.5のままにしてください。力に差がある対戦を試す場合は、各力士の1番あたりの勝率（または％）を入力します。内部ではこれらを相対的な「強さ」として扱い、XとYの取組では \( P(X \text{ が } Y \text{ に勝つ}) = \dfrac{s_X}{s_X + s_Y} \) として計算します。
計算式
「現在連勝中の力士」と「新たに登場する相手」を状態とするマルコフ連鎖を組み立てます。ある力士が2番続けて勝った状態が吸収状態（決着）です。互角（50/50）の場合に漸化式を解くと、教科書でおなじみの次の結果が得られます。
$$P(A) = P(B) = \frac{5}{14} \approx 35.71\%, \quad P(C) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 28.57\%$$ となり、合計はちょうど1になります。
計算例
3つの取組勝率をすべて0.5とします。力士Aは1番目の取組に勝ち（\( \frac{1}{2} \)）、続けてもう1番勝てばそのまま優勝です（\( \frac{1}{2} \)）。その後Aが再び勝ち上がって連勝を達成するあらゆるパターンを無限等比級数として足し合わせると、ちょうど\( \frac{5}{14} \)になります。対称性からBも同じく\( \frac{5}{14} \)となり、Cは $$1 - 2\times\left(\frac{5}{14}\right) = \frac{4}{14} \approx 28.57\%$$ となります。
よくある質問
なぜ控えの力士は不利なのですか？ AとBは最初からすぐに2連勝すれば優勝できますが、Cはまず1番目の取組の勝者を倒さなければ、連勝を始めることすらできないためです。
巴戦は必ず終わりますか？ はい。2連勝が出ないまま永遠に続く確率は0に近づくため、3人の確率の合計はちょうど1になります。
引き分けはありますか？ ありません。相撲の取組は必ず勝敗が決まるため、すべての取組が勝ち負けのどちらかに決着します。
