この計算ツールでできること
このツールは、与えられた3点A、B、Cを通る3次元空間内の平面の方程式を求めます。結果は一般形である \(ax + by + cz + d = 0\) の形で表されます。ここで \((a, b, c)\) は平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を表し、\(d\) は空間内における平面の位置を決定します。同一直線上にない3点は、ただ1つの平面を一意に定めます。本ツールが求めるのは、まさにその平面です。
使い方
3つの点それぞれについて、x・y・zの各座標を入力してください。値は通常の実数（正・負・ゼロ）で、単位の換算は必要ありません。計算ボタンを押すと、4つの係数 \(a, b, c, d\) と、整形された平面の方程式が表示されます。もし3点が同一直線上にある場合（または2点が一致している場合）、平面は一意に定まらず、その旨が表示されます。
計算式の解説
まず、三角形の2本の辺ベクトルを作ります。\(\vec{u} = B - A\)、\(\vec{v} = C - A\) です。この2つの外積 \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) が平面の法線ベクトルとなり、その各成分が係数 \(a, b, c\) になります。
$$a = u_y v_z - u_z v_y, \quad b = u_z v_x - u_x v_z, \quad c = u_x v_y - u_y v_x$$
点Aは平面上にあるので、これを代入して \(d\) を求めます。$$d = -\left(a \cdot x_A + b \cdot y_A + c \cdot z_A\right)$$ なお、方程式を定数倍しても同じ平面を表すため、外積から得られた係数そのもので問題ありません。
計算例
\(A = (1, 2, -2)\)、\(B = (3, -2, 1)\)、\(C = (5, 1, -4)\) とします。すると \(\vec{u} = (2, -4, 3)\)、\(\vec{v} = (4, -1, -2)\) となります。外積を計算すると、$$a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11$$ $$b = (3)(4) - (2)(-2) = 16$$ $$c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14$$ です。最後に $$d = -\left(11 \cdot 1 + 16 \cdot 2 + 14 \cdot (-2)\right) = -15$$ よって平面は \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) となります。点Bで検算すると \(33 - 32 + 14 - 15 = 0\)。正しく成り立っています。
よくある質問
3点が同一直線上にある場合は？ その場合、外積はゼロベクトル \((0, 0, 0)\) となり、その直線を含む平面は無数に存在します。一意な答えが存在しないため、本ツールはこの退化したケースを報告します。
他のツールと答えが違うのですが？ おそらく定数倍（スケール）や符号の違いだけです。すべての係数を同じ0以外の数で掛けても同一の平面を表すため、\(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) と \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) は同じ平面です。
小数も使えますか？ はい。任意の実数座標が使えます。係数は入力値から正確に計算されます。
