Qué hace esta calculadora
Esta herramienta encuentra la ecuación de un plano en el espacio tridimensional que pasa por tres puntos dados A, B y C. El resultado se expresa en la forma general estándar \(ax + by + cz + d = 0\), donde (a, b, c) es un vector perpendicular (normal) al plano y d sitúa el plano en el espacio. Tres puntos no alineados determinan un único plano, que es exactamente lo que devuelve esta calculadora.
Cómo usarla
Introduce las coordenadas x, y y z de cada uno de los tres puntos. Los valores son números reales sin más (positivos, negativos o cero): no hay unidades que convertir. Pulsa calcular y la herramienta te devuelve los cuatro coeficientes a, b, c y d junto con la ecuación del plano completamente formateada. Si los tres puntos están alineados sobre una misma recta (o dos de ellos coinciden), no existe un plano único y la calculadora te lo indicará.
La fórmula explicada
Primero se construyen dos vectores aristas del triángulo: \(\vec{u} = B - A\) y \(\vec{v} = C - A\). Su producto vectorial \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) da un vector normal al plano, y sus componentes son los coeficientes a, b y c:
$$a = u_y v_z - u_z v_y, \quad b = u_z v_x - u_x v_z, \quad c = u_x v_y - u_y v_x.$$Como el punto A pertenece al plano, despejamos d por sustitución: \(d = -(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A)\). Cualquier múltiplo escalar de la ecuación describe el mismo plano, así que los coeficientes obtenidos directamente del producto vectorial son perfectamente válidos.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(A = (1, 2, -2)\), \(B = (3, -2, 1)\), \(C = (5, 1, -4)\). Entonces \(\vec{u} = (2, -4, 3)\) y \(\vec{v} = (4, -1, -2)\). El producto vectorial da $$a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11, \quad b = (3)(4) - (2)(-2) = 16, \quad c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14.$$ Por último, $$d = -(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)) = -15.$$ El plano es \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\). Comprobando con el punto B: \(33 - 32 + 14 - 15 = 0\). Correcto.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si los puntos están alineados? Entonces el producto vectorial es el vector nulo (0, 0, 0) e infinitos planos contienen esa recta: no hay una respuesta única, por lo que la calculadora indica el caso degenerado.
¿Por qué mi resultado difiere del de otra herramienta? Probablemente solo sea una diferencia de escala o de signo. Multiplicar todos los coeficientes por un mismo número distinto de cero da el plano idéntico, así que \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) y \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) son el mismo.
¿Puedo usar decimales? Sí: cualquier coordenada real funciona, y los coeficientes se calcularán exactamente a partir de tus datos.
