यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल त्रि-आयामी (3D) स्थान में उस समतल (plane) का समीकरण निकालता है जो दिए गए तीन बिंदुओं A, B और C से होकर गुज़रता है। परिणाम मानक सामान्य रूप \(ax + by + cz + d = 0\) में मिलता है, जहाँ (a, b, c) समतल पर लंबवत (अभिलंब या normal) सदिश है और d समतल की स्थिति को स्थान में निर्धारित करता है। तीन ऐसे बिंदु जो एक ही रेखा पर न हों, हमेशा एक अद्वितीय समतल तय करते हैं — और यही कैलकुलेटर आपको लौटाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों बिंदुओं में से हर एक के x, y और z निर्देशांक दर्ज करें। ये मान सामान्य वास्तविक संख्याएँ हैं (धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य) — यहाँ बदलने के लिए कोई इकाई नहीं होती। "कैलकुलेट" दबाएँ और टूल चारों गुणांक a, b, c, d के साथ पूरी तरह सजा हुआ समतल समीकरण लौटा देगा। यदि आपके तीनों बिंदु एक ही रेखा पर पड़ जाएँ (या उनमें से दो आपस में मेल खाते हों), तो कोई अद्वितीय समतल नहीं बनता और कैलकुलेटर आपको यह बता देगा।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले त्रिभुज के दो किनारा-सदिश (edge vectors) बनाएँ: \(\vec{u} = B - A\) और \(\vec{v} = C - A\)। इनका क्रॉस गुणनफल \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\) समतल पर लंबवत एक सदिश देता है, और इसके घटक ही गुणांक a, b और c होते हैं:
$$a = u_y v_z - u_z v_y, \quad b = u_z v_x - u_x v_z, \quad c = u_x v_y - u_y v_x.$$
चूँकि बिंदु A समतल पर ही स्थित है, इसलिए हम प्रतिस्थापन (substitution) से d निकालते हैं: $$d = -\left(a\cdot x_A + b\cdot y_A + c\cdot z_A\right).$$ समीकरण का कोई भी अदिश गुणज उसी समतल को दर्शाता है, इसलिए सीधे क्रॉस-गुणनफल से मिले गुणांक पूरी तरह मान्य हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(A = (1, 2, -2)\), \(B = (3, -2, 1)\), \(C = (5, 1, -4)\)। तब \(\vec{u} = (2, -4, 3)\) और \(\vec{v} = (4, -1, -2)\) होगा। क्रॉस गुणनफल से $$a = (-4)(-2) - (3)(-1) = 11, \quad b = (3)(4) - (2)(-2) = 16, \quad c = (2)(-1) - (-4)(4) = 14$$ मिलता है। अंत में $$d = -\left(11\cdot 1 + 16\cdot 2 + 14\cdot(-2)\right) = -15.$$ अतः समतल है \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\)। बिंदु B की जाँच करें: \(33 - 32 + 14 - 15 = 0\)। सही है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
अगर बिंदु एक ही रेखा पर हों तो? तब क्रॉस गुणनफल शून्य सदिश \((0, 0, 0)\) बन जाता है और उस रेखा को अनगिनत समतल समाहित कर सकते हैं — कोई अद्वितीय उत्तर नहीं होता, इसलिए कैलकुलेटर इस अपकर्षित (degenerate) स्थिति की सूचना देता है।
मेरा उत्तर किसी दूसरे टूल से अलग क्यों आ रहा है? सबसे संभावित कारण है केवल पैमाने (scale) या चिह्न (sign) का अंतर। हर गुणांक को एक ही अशून्य संख्या से गुणा करने पर वही समतल मिलता है, इसलिए \(11x + 16y + 14z - 15 = 0\) और \(-22x - 32y - 28z + 30 = 0\) एक ही हैं।
क्या मैं दशमलव संख्याओं का उपयोग कर सकता हूँ? हाँ — कोई भी वास्तविक निर्देशांक चलेगा, और गुणांक आपके इनपुट से ठीक-ठीक गणना किए जाएँगे।
